Учебная работа. Зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута

Оглавление

Введение

Квантовый размерный эффект

особенности исследования КРЭ

Висмут: обоснование выбора материала для исследования

Обзор литературы

Требуемые улучшения в исследовании КРЭ

технология производства и методика эксперимента

Технология изготовления образцов

Описание измерительной и распылительной установок

Теоретическая модель и расчёты

Теоретическая модель

Теоретические расчёты

Обсуждение результатов

Выводы

Благодарности

список литературы

Введение

квантовый размерный висмут сопротивление

В наше время размеры элементов электронных цепей достигли настолько малых масштабов, что действующие в них законы классической физики начинают сменяться эффектами характерными только для квантовой физики. Это связано прежде всего с тем, что при ограничении движения носителей зарядов происходит квантование их энергетических уровней. В следствие этого происходит изменение физических свойств материала. Такие эффекты принято называть квантовыми размерными эффектами (КРЭ) и проявляются они в телах, размеры которых сопоставимы с длиной волны де Бройля. возникновение таких эффектов накладывает некоторые фундаментальные ограничения на дальнейшую минитюаризацию электронных устройств.

Первые работы по изучению квантовых размерных эффектов были опубликованы ещё в 1960ых годах, однако интерес к КРЭ не утихает до сих пор. такой интерес вызван тем, что электрические характеристики материалов, при сверхмалых размерах, меняются под действием КРЭ настолько сильно, что это приводит к возникновению принципиально новых ограничений при производстве микро- и наноэлектроники нового поколения. Поэтому исследованием КРЭ занимаются не только учёные со всего мира, но и ведущие производители процессоров. За прошедшие десятилетия технический прогресс шагнул далеко вперёд, поэтому эксперименты по выявлению КРЭ становятся не только точнее, но и проводятся на структурах ранее не доступных для производства. Если в первых научных исследованиях изучались двумерные плёнки [1,2], то в работах за последнее десятилетие исследовались не только плёнки, но и различные одномерные структуры: микроциллиндры [3], точечные контакты [4,5], а также нанопровода [6,7]. однако, несмотря на обилие работ по данной тематике, сопоставление экспериментальных данных с теорией не всегда является однозначным, а порой и вообще носит спекулятивный характер.

Несмотря на то, что квантовый размерный эффект — универсальное явление, которое должно присутствовать во всех материалах, его подавляющее большинство экспериментов проводилось лишь на нескольких металлах, в основном это сурьма или висмут, а также их сплавы. Это связано с тем, что в большинстве металлов эффективная масса электронов равна или близка по значению с массой покоя электрона me*=me, в то время как висмут и сурьма обладают низким уровнем Ферми и малой эффективной массой электронов. Таким образом проявление КРЭ, в этих двух материалах, следует ожидать на вполне достижимых масштабах, в отличии от типичных металлов, в которых КРЭ проявляется на масштабах порядка нескольких нанометров.

В данной выпускной квалификационной работе исследуется зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута. Главной целью работы была теоретическая интерпретация проведённого ранее эксперимента. Необходимо было построить теоретические зависимости сопротивления от размеров наноструктур (в нашем случае эффективного диаметра нанопровода) и определить при каких параметрах достигается наилучшее согласие теории с экспериментом.

Квантовый размерный эффект

В кристалле, размеры которого вдоль одного или нескольких направлений не превышают длину волны де Бройля (1), проявляются качественно новые эффекты, отсутствующие в массивных телах, в следствии чего происходит изменение его кинетических и термодинамических свойств.

где p=mv есть импульс частицы, а h — постоянная Планка. Такие изменения вызваны квантованием энергии носителей зарядов в «потенциальной яме» (в нашем случае потенциальной ямой служит сама наноструктура) и называются квантовыми размерными эффектами (КРЭ).

Для наглядности рассмотрим движение свободного электрона с массой m в одномерной потенциальной яме длиной L (рис. 1.).

Рис. 1. Изображение потенциальной ямы длиной L, с первыми четырьмя энергетическими уровнями свободного электрона с массой m. Тонкой линией показаны энергетические уровни, а жирным линиям соответствуют волновые функции частицы в каждом из состояний. n — квантовое число, отвечающее каждому энергетическому уровню, и равно целому числу полуволн укладывающихся на длине L.

Для области, лежащей в отрезке 0 одномерное уравнение Шрёдингера имеет следующий вид:

где штрих обозначает дифференцирование по координате x, m — масса частицы, приведённая постоянная Планка, E — энергия частицы. Исходя из того, что с двух сторон яма ограничена бесконечно высокими потенциальными барьерами, разумно использовать следующие граничные условия:

Волновая функция, имеющая синусоидальную форму, будет автоматически удовлетворять заданным граничным условиям [8]. таким образом волновые функции даются формулой (4), а энергетические уровни квантовых состояний формулой (5). В данном случае n является целым числом полуволн, которые помещаются на интервале от 0 до L.


таким образом, можно ограничить движение носителей заряда изготовив кристалл, размеры которого в одном из направлений будут меньше или приближённо равны длине волны де Бройля. Поместив носители в такую искусственно созданую потенциальную яму, их энергетический спектр станет дискретным. В массивных телах энергетический спектр является непрерывным, поэтому такое изменение спектра приведёт и к качественному изменению электронных свойств материала, например: коэффициента Холла, удельного сопротивления, магнетосопротивления, оптических характеристик, теплопроводности материала и так далее [9]. По мере уменьшения размеров образца, энергетические уровни будут сдвигаться вверх по шкале энергий и тем самым пересекать уровень Ферьми, в связи с этим, плотность состояний вблизи уровня Ферми будет колебаться между более высокими значениями и более низкими. Электроны, лежащие близко к уровню Ферми, отвечают за электрическую проводимость в металлах, поэтому изменение плотности состояний приведёт к тому, что сопротивление начнёт изменяться немонотонным образом по отношению к размерам образца. Таким образом, сопротивление образца измеренное как функция, зависящая от поперечного сечения образца, будет демонстрировать осциллирующее немонотонное поведение. В конечном счёте должен произойти переход образца из металла в диэлектрик, так как после пересечения последним свободным электронным состоянием уровня Ферми произойдёт образование энергетической щели между валентной зоной и зоной проводимости [10]. Из этого утверждения вытекает тот факт, что уровень Ферми сам по себе должен быть относительно стабилен по сравнению с расстоянием между уровнями энергии электронных состояний. Это очень важное замечание потому что энергия Ферми изначально не имеет фиксированного значения и самосогласованно определяется энергетическим спектром. А поскольку энергетические уровни изменяются как функция от размеров, следует учитывать, что энергия Ферми также будет меняться. В избежание изменения энергии Ферми и для её «стабилизации» желательно, чтобы в металле присутствовали и другие носители заряда с большой эффективной массой. В таком случае можно будет принебречь КРЭ для них, и считать, что положение уровня Ферми не изменяется вместе с размером.

На рисунке 2 представлено схематичное изображение электронных состояний в металле, отвечающих вышеупомянутому условию. КРЭ для «тяжёлыъ» дырок значительно менее выражен, чем для электронов, это хорошо видно из формулы (5). Таким образом расстояние между двумя смежными энергетическими уровнями обратно пропроциально эффективной массе . По этой причине, диапазон энергий, покрываемый дырками от уровня Ферми и до самой вершины валентной зоны гораздо меньше чем диапазон энергий, покрываемый электронами (от самого низа зоны проводимости до уровня Ферми соответственно). поэтому с уменьшением размеров «тяжёлые» дырки не вносят такого же вклада как «лёгкие» электроны [11]. И уровень Ферми, таким образом, является относительно «стабильным» и находящимся достаточно близко к вершине валентной зоны в материале, в котором эффективная масса дырок значительно больше чем эффективная масса электронов.

Рис. 2. Схематичное изображение электронных состояний в металле с двумя типами носителей заряда: «лёгкие» электроны и «тяжелые» дырки.

Исходя из выше сказанного, очевидно, что — ещё одним условием для проявления квантовых размерных эффектов является тот факт, что тепловая энергия носителей должна быть меньше чем расстояние между соседними энергетическими уровнями En+1 и En (6).


Если это условие не будет выполненно, то из-за частых переходов носителей между уровнями квантовые эффекты будут «размыты». При этом вырожденный электронный газ характеризуется энергией Ферми, поэтому также должно выполнятся условие (7),


следует заметить, что при выполнении условия (7) автоматически выполняется и условие (6). Если данное условие не будет выполненно, то КРЭ будут вносить малый вклад в наблюдаемые величины, в связи с тем, что большое количество квантовых уровней будет заполнено [9].

однако на практике этих требований не достаточно для наблюдения КРЭ. Одной из проблем является рассеивание электронов. Интенсивность рассеяния, как правило, связывают со временем релаксации, которое в свою очередь прямо пропорционально длине свободного пробега. Эту величину обычно и учитывают при проведении экспериментов — для наблюдения КРЭ необходимо, чтобы длина свободного пробега l была сравнима с размером области L, в которой происходит движение частицы. Поэтому при экспериментальных исследованиях квантовых эффектов измерения проводятся при низких температурах и чистых монокристаллах. С уменьшением температуры растёт и длина свободного пробега, так например, средняя длина свободного пробега l для монокристалла меди при комнатной температуре (300 К) примерно равна 3*10-6 см, а при температуре жидкого гелия (4.2 К) составляет порядка 0,3 см [8]. Отклонение структуры монокристалла от идеальности, приводит к нетепловому размытию энергетических уровней, которое формально может быть охарактеризовано некой величиной, которую исторически называют температурой Дингла TD. В «хороших» массивных образцах висмута температура Дингла может быть порядка нескольких градусов Кельвин. следовательно, ещё одним условием наблюдения КРЭ, накладываемым качеством кристалла, является: .

особенности исследования КРЭ

Итак, для наблюдения размерных эффектов, вызванных квантованием энергетических уровней в металле, необходимо, исходя из предыдущей главы, уменьшить исследуемое тело настолько, чтобы его размеры были сопоставимы с длиной волны де Бройля. Если же размеры образца будут много больше этого параметра, то расстояние между квантованными уровнями энергии будут так малы, что при реально достижимых температурах произойдёт их перекрытие и наблюдение КРЭ в таком теле станет практически невозможным. Поэтому ключевым остаётся требование (6), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями вблизи значений энергии Ферми должно превышать тепловую энергию носителей заряда. К сожалению, расчёты показывают, что для металлов с высокой концентрацией электронов, таких как Cu, Al, Au и т.д. энергия Ферми имеет значение порядка 1 эВ, а в следствии того, что эффективные массы электронов в этих металлах дотаточно велики me*≈me, то для удовлетворения вышеуказанного условия требуются размеры тела около L~1 нм [12]. На практике произвести настолько маленькие структуры не представляется возможным. Ко всему прочему образец должен быть изготовлен «чистым», чтобы избежать дополнительных рассеиваний из-за наличия в образце примесей и/или прочих дефектов, что формально соответствует низкой температуре Дингла. А поверхность тела должна быть как можно более гладкой для того чтобы характер отражения носителей от поверхности был зеркальным. Для реализации зеркального отражения на границах необходимо, чтобы шероховатости поверхности имели размеры гораздо меньшие чем длина волны носителей. Это поможет не нарушить условие l>>L и избежать эффективного рассеяния на границах образца [9].

Исходя из вышесказанных условий: больше всего для изучения КРЭ подходят монокристаллы полуметаллов. Полуметаллы обладают низкой концентрацией носителей зарядов, в среднем, 1018-1020 см-3, большой подвижностью носителей и малой эффективной массой [13]. поэтому для исследования КРЭ лучше всего подходят вещества именно этой группы.

В научных работах по исследованию размерных эффектов как правило используют сурьму или висмут, они обладают всеми нужными параметрами для хорошего экспериментального наблюдения КРЭ [14]. однако в данной работе выбор был остановлен на висмуте, так как он обладает рядом преимуществ по сравнению с сурьмой. Висмут имеет низкую энергию Ферми, порядка EF30 мэВ, в то время как, при температуре жидкого гелия (4.2 К) тепловое уширение энергетических уровней, kBT≈0.4 мэВ, а уменьшая размеры висмутового нанопровода можно получить расстояние между энергетическими уровнями порядка ~10 мэВ вполне реальная задача. Средняя длина пробега носителей заряда в объёмном образце достигается l≈1 мм при температуре жидкого гелия. немаловажным фактором при выборе висмута сыграло то, что он имеет относительно стабильную энергию Ферми. Это вызванно большой разницей между эффективными массами лёгких электронов и тяжелых дырок. В заключении стоит сказать, что произвести достаточно большие кристаллиты из висмута (~1 мкм) с гладкой поверхностью можно с помощью обычных литографических методов [10].

Висмут: обоснование выбора материала для исследования

Висмут имеет вид серебристо-серого металла с розоватым оттенком и представляет из себя весьма интересное вещество. При нормальных условиях висмут имеет ромбоэдрическую решетку с периодом a=4.7457 А и углом a=571413, однако известно ещё несколько аллотропных модификаций проявляющихся в зависмости от внешних условий [15]. Висмут — уникальное вещество, подходящее для изучения не только КРЭ, но и для многих других исследований. Он феноменален не только теми характеристками, что были перечислены в конце предыдущего раздела, но и другими своими особенностями: висмут обладает большей плотностью в жидком состоянии чем в твердом, также он является материалом с сильными диамагнитными свойствами и имеет сильно анизотропный энергетический спектр [11].

Рис. 3. (а) 1-ая зона Бриллюэна с тремя электронными полостями и одной дырочной. (б) Тензор эффективных масс электронов и дырок [16]. В некоторых направлениях эффективная масса электронов очень мала (выделены красными прямоугольниками).

На рис. 3. (а) представлена первая зона Бриллюэна висмута. Висмут особенен тем, что в L — точках и T — точках сосредоточены абсолютный минимум зоны проводимости и абсолютный максимум валентной зоны соответственно. следовательно его полуметаллические свойства проявляются в следствии энергетического перекрытия экстремумов T и L [17]. На рисунке 3 (а) показано, что поверхность Ферми для электроннов и дырок представляет собой сильно вытянутые эллипсойды с центрами в точках L и Т. В висмуте носителями зарядов являются «лёгкие» L — электроны, у которых эффективная масса me* гораздо меньше массы покоя электрона me0, и «тяжелые» T — дырки, у которых эффективная масса mh* примерно равна массе покоя электрона me0. Таким образом именно «тяжёлые» T — дырки обеспечивают «стабилизацию» уровня Ферми. На рисунке 3 (б) представлен тензор эффективной массы для носителей заряда в висмуте. Из таблицы видно, что эффективные массы электронов очень малы, а в некоторых направлениях они почти в тысячу раз меньше чем масса электрона в состоянии покоя. В тоже время эффективная масса дырок гораздо больше эффективной массы электронов. При этом эффективные массы всех носителей зарядов изменяются в значительной степени от изменения направления движения. То есть энергетический спектр носителей зарядов сильно зависит от направления, в котором изучаются электронные свойства. Этот аспект необходимо учесть при узучении электрических свойств поликристаллов, так как кристаллы, имеющие различную ориентацию будут по-разному влиять на измеряемую величину [10]. Так, например, для изучения электронной проводимости максимальный квантово-размерный эффект будет достигаться при протекании тока в образце вдоль направления биссекторной кристаллографической оси [18].

На рисунке 4 представленна расширенная зонная структура висмута. Буквы на графике соответствуют различным точкам в 1ой зоне Бриллюэна, показанной на рисунке 3а. несмотря на их большое количество, интерес представляют лишь носители зарядов расположенные в точках L и T, энергетические зоны которых пересекают уровень Ферми. В других же областях энергетические зоны не достигают уровня Ферми и поэтому не вносят особого вклада в проводимость. Формально, если повысить температуру металла, то носители остальных энергетических зон также начнут давать вклад в общую электропроводимость. Это связанно с уширением энергетических уровней, однако на практике это происходит при такой высокой температуре, что другие явления, проявляющиеся в следствии увеличения температуры, такие как колебания решётки например, приведут к снижению электропроводности [19].

Рис. 4. Расширенная зонная структура висмута вдоль различных кристаллографических направлений. [19].

Обзор литературы

первые работы, посвящённые исследованию именно квантовых размерных эффектов были опубликованы в 1960ых годах советскими учёными [1,2]. однако ещё в 1930ом году в результате эксперимента, проведённого де Гаазом и ван Альфеном, были обнаружены осциляции величины M/H [20]. Тогда они измеряли намагниченность M висмутового образца как функцию магнитного поля в достаточно сильных полях при температуре 14.2 К. В том же году Л. Д. Ландау опубликовал работу, посвящённую теории свободных электронов, в которой он предсказал подобные осциляции ещё не зная про опыт де Гааза и ван Альфена. При этом он предполагал, что на практике будет довольно сложно создать достаточно однородное магнитное поле для наблюдения осцилляций [21]. И только в начале 1950ых годов был найден ключ к разгадке проявляющихся осцилляций, наибольший вклад для объяснения этого эффекта сделали И. М. Лившиц, А. М. Косевич — разработав полную теорию эффекта де Гааза — ван Альфена [22], и Онсагер — давший описание периода осцилляций [23]. после этого интерес к данному эффекту резко возрос и в результате проводимых опытов было обнаружено осциллирующее других величин, при тщательном их измерении.

несмотря на большое количество различных опытов, проведённых в то время, в каждом из них исследовался квантовый эффект без учёта влияния размеров образца. Одной из первых работ, посвящённых размерному квантовому эффекту, стала экспериментальная работа советских учёных Огрина Ю. Ф., Луцкого В. Н., Елинсона М. И. [1], опубликованная в середине 60ых годов прошлого века. В этой работе исследовались зависимости различных гальванических и кинетических величин от изменяющейся толщины тонких висмутовых плёнок. На рисунке 5 представлен полученный результат, на каждом из графиков имеется по три зависимости, измеренных при различных температурных режимах: при комнатной температуре и при температурах жидкого азота и гелия. Исходя из полученных графиков хорошо заметно, что с уменьшением температуры растёт амплитуда осцилляций, а расстояние между соседними пиками амлитуды колеблется между 40 и 50 нанометрами (рис. 5).

Рис. 5. Сверху-вниз: Зависимости магнетосопротивления, Холловской подвижности, постоянной Холла и удельного сопротивления от толщины плёнок [1].

Через год была опубликована работа [24] с соответствующей теоретической моделью, которая описывала полученные в работе [1] данные. Конечным результатом этих двух работ стала работа [2], в которой случае теоретическая зависимость была рассчитана для идеализированного случая T=0 K, но даже несмотря на это, соответствие экспериментально наблюдаемого периода размерноквантовых осцилляций и теории весьма точное. Следует также упомянуть о работах, проделанных примерно в то же время западными учёными [25]. здесь исследовалась подвижность дырок и электронов в зависимости от толщины плёнки и угла отклонения образца от кристаллографических осей. В качестве результата автор работы выделил то, что рассеяние носителей заряда сильно анизотропное и в различных направлениях может отличаться друг от друга в несколько раз, и то, что величина свободного пробега заметно меняется с понижением температуры.

Рис. 6. График зависимости сопротивления от толщины плёнки . Измерения выполнены также в различных температурных диапазонах [2].

Несмотря на возникший «бум» исследования КРЭ в третьей декаде прошлого века, в последующие годы и вплоть до конца 90ых годов Интерес к изучению КРЭ спал. Эксперименты если и проводились, то кардинально нового они ничего не предлагали, а тогдашнее развитие технологий не позволяло исследовать отличные от плёнки наноструктуры. Но уже в конце 90ых годов Интерес к изучению КРЭ снова возрос, этому поспособствовало собственно и развитие технологий: теперь КРЭ можно было изучать не только в плёнках, но и в одномерных и нольмерных наноструктурах. И если раньше все эксперименты проводились в основном с образцами из висмута, то теперь исследованию КРЭ подверглись наноструктуры из других различных веществ, например: золота [26], алюминия [27], титана [28] и т.д. Но в целом, лидером среди веществ по исследованию КРЭ по-прежнему остаётся висмут, благодаря своим уникальным свойствам. В начале двухтысячных было опубликовано несколько работ, посвящённых изучению КРЭ в нанопроводах из висмута [6,7]. Нанопровода изготавливались очень интересным способом: подложка была сделана из оксида алюминия Al203 с целым массивом пор в ней, радиус каждой из них составлял примерно около 30 нм (Рис. 7 (а)). затем, с помощью вакуумного напыления эти поры заполняли висмутом, результат можно наблюдать на рисунке 7 (а,б).

Рис. 7. (а) Шаблон из Al203, вид сверху, (b) шаблон Al203 (темные места) с уже заполненными висмутом порами (светлые места), вид сбоку. Изображения были сделаны при помощи сканирующего электронного микроскопа [7].

Рис. 8. Пучок нанопроводов из висмута после растворения шаблона из оксида алюминия. С правой стороны рисунка видны куски висмута на проводах, которые являются остатками тонкой плёнки висмута. Плёнка образовалась в результате впрыскивания висмута в поры. Изображение получено с помощью сканирующего электронного микроскопа [16].

Кроме нанопроводов исследовались и точечные контакты из висмута [4,5]. В данных работах эксперименты проводились с помощью сканирующего туннельного микроскопа: используя наконечник микроскопа контакты удлинялись до тех пор пока не происходил разрыв, в результате удалось показать чётко зависящее изменение электропроводности от размеров образцов. позднее были изучены микроцилиндры [3] и длинные нанопровода [28]. здесь особое внимание стоит обратить на работы было проделано обобщение теоретической модели для случая с одномерным нанопроводом [18], в которой автор утверждал, что при различном расположении образца вдоль кристаллографических осей, переход из металла в диэлектрик будет происходить также при различных диаметрах. Он посчитал, что расположив образец с прямоугольным сечением w*t вдоль биссекторной оси (рис. 3 (а)), переход металл-диэлектрик должен произойти при диаметре нанопровода d=(w*t)1/2≈58 нм. Во-вторых были исследованы отдельные тонкие нанопровода, а не массив из нанопроводов как это делалось раньше(рис. 9). И в-третьих изучались не несколько образцов разного диаметра, а один и тот же образец, который последовательно уменьшался. В результате проделанного эксперимента были получены экспотенциально возрастающие значения сопротивления с каждой итерацией уменьшения нанопровода, что по словам автора является проявлением квантового размерного эффекта, который и ответственнен за переход образца из проводящего состояния в диэлектрическое.

Рис. 9. Изображение сегмента висмутового провода из работы [28].

Требуемые улучшения в исследовании КРЭ

Как видно из предыдущей главы, экспериментов по исследованию квантового размерного эффекта в различных наноструктурах за последние 15 лет было проделано немало, однако несмотря на то, что практически каждая новая работа привносила какие-то свои новшества, экспериментальные исследования КРЭ продолжаются проводиться и в наше время. Этому способствует несколько факторов: улучшение и совершенствование технологий производства, и в следствии этого несовершенность предыдущих эксперементов, а также новые проблемы, встающие перед производителями современной электроники и микропроцессоров. Оглядываясь на экспериментальные работы, описанные в предыдущем разделе следует сказать, что несмотря на кажущийся успех каждой из них, их всё же нельзя считать полностью успешными. Так в работах [6,7] исследуемые образцы были недостаточно «чистыми», а длина непомерно большой, ко всему этому исследуемый образец представлял собой не отдельный провод, а целый пучок проводов, каждый из которых давал свой вклад в исследуемую величину, тем самым затрудняя теоретическую интерпретацию данных. заветный переход висмута из металла в диэлектрик также не было достигнут. эксперименты проделанные с помощью сканирующего туннельного микроскопа [4,5] также нельзя считать достаточно точными. В связи с тем, что четко сопоставить полученые данные с микроскопа и теорию не представляется возможным из-за неопределённости кристаллографической ориентации наноктакта и неизвестности его точных размеров. В работе [28] исследуемые провода были не только очень длинными, но и состояли из множества разоориентированных кристаллов, что весьма затрудняло теоретическую интерпретацию полученных данных, так как каждый из кристаллов вносил свой вклад в общее сопротивление. И ко всему прочему, провода очень сильно ломались при их уменьшении, а это не позволило достичь заявленного автором значения диаметра, при котором планировалось наблюдать переход образца из металла в диэлектрик.

Анализируя недочеты проделанных работ можно выделить следующие пункты, необходимые для качественного исследования квантового размерного эффекта и проведения достаточно точного эксперимента по его выявлению:

.Исследуемый образец должен быть достаточно чистым.

.Образец должен иметь не только малый диаметр, но и достаточно короткую длину.

.Образец должен быть монокристаллическим.

.необходимо уменьшать один и тот же образец, а не использовать несколько разных размеров.

.Механизм уменьшения должен быть максимально не разруюшающим и сохранять зеркальную поверхность тела образца на высоком уровне.

.Уменьшение сечения образца ниже 50 нанометров, для чёткого выявления квантового перехода.

.Ориентация образца должна максимально чётко соответствовать кристаллографическим осям.

технология производства и методика эксперимента

Учтя все недочеты предыдущих работ, группа учёных под руководством Арутюнова К. Ю., провела эксперимент по исследованию квантового эффекта в различных нанопроводах[29,30]. Особенностью этих работ стало то, что измерения проводились на одном последовательно уменьшаемом образце, а не на нескольких образцах разных размеров. Следует отметить, что до конца измерений, до того момента, как образцы разрушались, удавалась сохранять их первоначальную структуру на достаточно высоком уровне. Этого удалось достичь благодаря особой технологии ионного травления [31].

Технология изготовления образцов

Исследуемые образцы нанопроводов были изготовлены достаточно простым методом взрывной электроннолучевой литографии и направленного вакуумного напыления при помощи электронной пушки. В качестве материала подложки использовалась слюда. Для того, чтобы обеспечить стекание заряда с подложки на неё наносился слой алюминия, порядка ~ 10 нм. Данный материал подложки был выбран не случайно. После тщательного изучения авторами соответствующей литературы и пробных экспериментов по напылению висмута на различные подложки был выбран именно этот субстрат. Его главными плюсами являются хорошие диэлектрические свойства, а также то, что висмут очень хорошо на него «садится», образуя достаточно большие и однородные кристаллы, в силы соответствия параметров кристаллических решёток слюды и висмута. В качестве возможных материалов подложки рассматривались оксид кремния и стекло, но на них висмут формировался гораздо хуже чем на слюде.

Для получения крупных кристаллов с характерным размером порядка половины микрона использовался чистейший висмут (99,9995%). Перед тем как приступить к нанесению висмута на подложку, она тщательно обрабатывалась и очищалась. Висмут осаждался на нагретый до 140 чип со скоростью около 1 нанометра в секунду в вакууме порядка 10-6 мбар. Качество готовых образцов проверялось с помощью атомно-силового микроскопа и после тщательного анализа фотографий полученных образцов были выбраны наилучшие для дальнейших измерений.

Подводящие контакты были изготовлены из алюминия и приварены при помощи ультразвуковой сварки

Описание измерительной и распылительной установок

Все измерения проводились четырех контактным методом с использованием переменного и постоянного токов в диапазоне от 10 нА до 1 мА. Частота переменного тока при котором проводились измерения в нанопроводах всегда составляла 19 Гц. Постоянный ток использовался только для проверки результата или построения вольт-амперных характеристик. Блок-схема измерительной установки представлена на рисунке 10 (а).

Рис. 10. (а) Измерительная установка. (б) Конфигурация фильтров в измерителе. [10]

В связи с тем, что при измерениях использовалась четырех контактная конфигурация, ток проходил по контактам с одинаковыми обозначениями. То есть он проходил из А+ в А, а напряжение измерялось через два других контакта — B+ и B. Между двумя контактами с подобными названиями существует также система фильтрации, блок-схема которой представлена на рис. 10 (б). Напряжение измеренное на образце усиливалось в 100 раз с помощью низкошумового усилителя и затем его значение считывалось фазочувствительным вольтметром. после этого фаза и форма сигнала полученного с образца и первоначального сигнала из генератора сравнивались на осциллографе.

Рис. 11. Распылительная установка.

Охлаждение образцов от комнатной температуры до 77 К занимало около пяти минут, в то время как от 77 К до 4,2 К охлаждение занимало примерно 15 минут. Отогревание же образцов производилось в потоке сухого азота для того, чтобы влага не конденсировалась на образцах и не вызывала никаких повреждених. Этот процесс занимал порядка двадцати минут. Сами образцы хранились в вакуумной камере в целях их защиты от влаги и окисления в атмосфере. А после каждого измерения происходило уменьшение размеров образцов путем ионного травления.

Для получения зависимости сопротивления от размеров тела, необходимо либо измерять несколько структур с различными значениями размеров, либо многократно измерять один и тот же объект последовательно его при этом уменьшая. Несмотря на то, что первый метод является более распространённым, его реализация, на практике, является довольно-таки сложной задачей. Потому что для его успешной реализации требуется, чтобы все остальные параметры системы, кроме размеров непосредственно изучаемой наноструктуры, были одинаковыми, а осуществить это в реальных условиях с высокой точностью достаточно сложно. Второй метод начал применяться относительно недавно, но уже успел показать свою эффективность [28-31]. суть метода заключается в том, что образец подвергается направленному низкоэнергетическому ионному травлению. Ионы аргона Ar+, ускоренные до 0.5 — 1 кэВ, проникают в матрицу висмута всего лишь на глубину около 1 нм, по величине это сравнимо с толщиной нескольких атомных слоёв. Благодаря этим данным, такая бомбардировка оказывает эффект полировки, т.е. шероховатость поверхности колеблется на уровне 1 нм [32]. Следует добавить, что платформа на которой находился образец вращалась: регулировка угла расположения образца позволила утоньщать образец со всех сторон, тем самым поддерживая геометрические пропорции образца при ионном травлении. Большим плюсом являлось и то, что образцы при этом практически не пострадали. На рис. 11 представлена блок-схема распылительной установки, а на рис. 12 продемонстрировано изображение образцов и их профилей до травления и после нескольких этапов утоньшения, полученое на атомном силовом микроскопе.

Измерения образцов продолжались до тех пор пока образцы не ломались в следствии сильного утоньшения. Как правило это происходило при эффективном сечении провода порядка 40-60 нм. однако значительное количество образцов было выведено из строя имея диаметр немного крупнее. Таким образом, переход метал-диэлектрик удалось наблюдать на ограниченном количестве наноструктур.

Рис. 12. образец висмутового нанопровода и его профили поперечного сечения. Слева изображён образец до травления, а справа после нескольких актов ионного травления [10].

Теоретическая модель и расчёты

В результате проведёного эксперимента были получены зависимости электрического сопротивления от уменьшающихся толщины и ширины нанопроводов R(t,w), в предположении, что образец имеет прямоугольное сечение ширина w и толщина t. кроме того для сравнения сопротивление было измерено также и у тонких плёнках, здесь изменялась только их толщина. Как уже было сказано ранее: измерения сопротивления происходили между актами ионного травления. Все измеренные образцы, демонстрировали немонотонную зависимость R(t,w). Однако полученные экспериментальные результаты необходимо было сравнить с существующей теоретической моделью и выяснить насколько точно они соответствуют друг другу. первые теоретические модели, описывающие энергетический спектр (массивного) висмута, были предложены ещё несколько десятков лет назад [24], и с каждым новым витком экспериментов они лишь обобщались для определённого вида наноструктур. поэтому к нашему времени появилось немало таких моделей с различными степенями сложности [33]. Но для простого сопоставления эксперимента с теорией достаточно было рассмотреть довольно простую модель из работ [34,35].

Теоретическая модель

ичиной (рис. 13). В низких температурах kBT<<, и так как размер образца уменьшается, то в режиме КРЭ это перекрытие также уменьшается, что приводит в результате к разделению зон формированию энергетической щели Eg, т. е. переход металла в диэлектрическое состояние. В соответствии с моделью [18] рассмотрим провод с размерами w, t, и L (толщина, ширина и длина соответственно). причем считается, что КРЭ в направлении z (длина нанопровода L) можно пренебречь. Волновая функция для свободной частицы будет даваться уравнением:

Соответствующая энергия для электронов:

здесь был использовано сокращённое обозначение для энергии:

Рис. 13. Схематичное изображение энергетического спектра висмута. Сплошные линии соответствуют массивному объекту, а пунктирные линии отражают дискретность энергетического спектра с учетом квантового размерного эффекта.

теперь используя выражение для электронной плотности состояний

и распределение Ферми-Дирака для электронов с химическим потенциалом e

мы получим значение концентрации электронов при низких температурах:

здесь s — спиновое вырождение, а есть функция Хевисайда. Вывод аналогичного выражения для концентрации дырок p(E) достаточно просто и похож на вывод, проделанный выше. электронный и дырочный химические потенциалыe и h, значения которых были измерены внизу зоны проводимости и в вершине валентной зоны по отношению к уровню Ферми , теперь могут быть посчитаны из условия нейтральности зарядов n(E)=p(E). Записав энергию Ферми как e=xe+ye мы придём к выражению , где j=x, y. затем, используя связь =e+h, получаем:

Энергия перекрытия была представлена как . Так как размеры образца становятся меньше, то зоны проводимости и валентности «скользят» вверх и вниз, и соответственно перекрытие зон тоже постепенно уменьшается. В то же время химический потенциал остаётся неизменным. Предположим, что перекрытие зон исчезает при ширине w0 и толщине t0, а именно:

Используя эти выражения вместе с уравнением (14), получаем величину ширины и толщины, при которых происходит переход из полуметалла в полупроводник:

здесь , j=x, y. Энергетическая щель теперь может быть записана как . Определив величины а так же:


Найдём нормализованную электронную концентрацию:

Функция [x] есть целая часть от x. рисунок 14 демонстрирует зависимость уменьшающейся электронной концентрации от толщины и ширины.

Рис. 14. Зависимость концентрации носителей от уменьшающихся ширины и толщины. График представляет из себя ступенчатую функцию. Для данного случая провод расположен вдоль биссектороной оси, а значения эффективных масс (в единицах масс свободных электронов): для электронов , а для дырок .

Квантовый размерный эффект в данном случае проявляется в виде ступенек в концентрации электронов. С каждым шагом электронная плотность меняется немонотонно, достигая максимального значения в определённой точке. Позиции этих в каждом из направлений сильно зависит от величины эффективных масс, то есть от кристаллической структуры провода. О важности данного факта было оговоренно ранее.

далее, для получения интересующих нас проводимости и сопротивления будет использовано кинетическое уравнение Больцмана. Обозначив за невозмущённое и возмущённое распределения функциями f0 и f, заряд носителей q {qe, qh}, а также оператор скорости как . При наличии внешнего электрического поля E, уравнение Больцмана имеет вид:

При помощи линеаризации этого уравнения и введения времени релаксации , кинетические коэффициенты для одномерной системы могут быть получены из

причём есть электрическая проводимость. Для того, чтобы получить время релаксации, предположим, что N рассеивателей, каждый с силой V0, случайным образом распределенны на позициях Rj вдоль провода: , дальше, и использовав золотое правило Ферми:

Величина ≡wtLобъем образца.


здесь , а есть величина плотности рассеивателей. Тогда электронный вклад в электрическую проводимость будет выглядеть следующим образом:

В данном выражении внешнее суммирование учитывает вклад от различных подзон (m,n). Для дырочной проводимости выражение получается аналогичным образом, а общая электрическая проводимость есть алгебраическая сумма электронного и дырочного вкладов. Таким методом можно найти и другие интересующие величины, например коэффициент Зеебека [18], но так как в этой работе измеряется только сопротивление, другие параметры для нас не представляют особого интереса. Для рассматриваемого на графике «теоретического» провода его диаметр, при котором должен произойти переход металл-диэлектрик равен ≈58 нм, а значение ширины w0102 нм и толщины t026 нм, данные значения получены исходя из формул (16), а значения тензора эффективных масс представлены в подписи к рисунку 14.

Теоретические расчёты

Главной целью этой выпускной квалификационной работы является сопоставление зависимостей R(t,w), полученных в эксперименте, с теоретической моделью, описанной выше. основной задачей при этом является определение положения исследуемого образца относительно кристаллографических осей. Из проведённого эксперимента известно, что тригональная ось перпендекулярна к плоскости образца. Считается, что для наблюдения КРЭ наилучшей ориентацией образца является его расположение оси z вдоль биссекторной оси C2 [18]. Так как данному направлению соответствует самая низкая электронная масса mex. Если расположить образец абсолютно симметрично к направлению кристаллографической оси С2, то сопротивление будет проявляться как достаточно простая зависимость. Но в то же время, если расположить образец в произвольном направлении — возникнут соответствующие изменения, которые будут проявлять себя как возникновение вторичных максимумов. Это происходит из-за появления вклада неэквивалентных зон для соответствующего направления поверхности Ферми висмута. Поэтому при расчёте теоретических кривых было решено отталкиваться от данных, соответствующих биссекторной оси.

В ходе работы необходимо было посчитать теоретические зависимости R(t,w) для двух нанопроводов и R(t) для тонкой плёнки, с которой планировалось сравнить результаты, полученные на нанопроводах. На рисунке 15 представлено два графика, на графике (а) расположены экспериментальные кривые полученные для одного из исследуемых образцов при разных температурных режимах, на графике (б) представлена теоретическая кривая, построенная на основе данных для «теоретического» провода (рис. 14).

Рис. 15. а) экспериментальные кривые, полученные в трёх температурных режимах. Синяя кривая — температура жидкого гелия, красная кривая — комнатная температура, зелёная пунктирная — разность сопротивлений. б) Теоретическая кривая полученная для провода вытянутого вдоль биссекторной оси и с эффективными массами указанными в подписи к рисунку 14.

Если сопоставить экспериментальный график и теоретический (рис. 15), то выясняется что, несмотря на некоторую схожеть, они всё же достаточно сильно расходятся. Такому поведению есть несколько причин, о некоторых из них будет сказано позже, а одна причина является этапом теоретических расчётов. Так как сопротивление очень сильно зависит от направления расположения образца, т. е. величины эффективных масс, поменяв их, можно достичь гораздо лучшего результата. И к тому же, не исключается и то обстоятельство, что выращенный образец мог расположиться своей длинной осью z не симметрично какой-либо из кристаллографических осей.

Используя формулы (16, 17, 23) и меняя тензор эффективных масс таким образом, чтобы он не только достаточно чётко повторял экспериментальную кривую, но имаксимально точно соответствовал значениям отвечающим бинарному или биссекторному направлению, был достигнут максимальный результат при следующих значениях эффективных масс: mex=0.0011, mey=0.2913, mez=0.0071, mhx=0.634, mhy=0.059, mhz=0.059. При этом величины критической ширины w0 и толщины t0, при которых должен произойти переход металл-диэлектрик, равны 110 нм и 26 нм соответственно. Данный набор эффективных масс соответствует бинарной оси, однако не точно. Отклонение образца от бинарной оси составило порядка 3-4 градусов. Результирующая кривая представлена на рисунке 16 вместе с экспериментальными данными.

Рис. 16. На графике представлена зависимость сопротивления R от эффективного диаметра deff=(w*t)1/2 нанопровода №1 из висмута. Красная кривая с квадратными точками изображает зависимость при комнатной температуре, синяя кривая с круглыми точками — зависимость при температуре жидкого гелия и чёрная сплошная кривая есть теоретическая зависимость. График взят из работы [36].

Также была построена теоретическая зависимость для второго образца висмутового нанопровода (рис. 17). Также как и в ситуации с первым образцом, в ходе расчёта было выяснено, что образец лежить вдоль бинарной оси. Данному образцу соответствуют следующие значения: эффективные массы mex=0.002, mey=0.2293, mez=0.0012, mhx=0.634, mhy=0.059, mhz=0.059; критические величины ширины и толщины w0=101 нм, t0=29, нм; отклонение образца от бинарной оси составило также порядка нескольких градусов. Сравнивая данные с рисунков 16 и 17 можно заметить, что, казалось бы, небольшие изменения ориентации образца (формально — несколько другие эффективные массы), приводят к значительному различию зависимостей сопротивления R от эффективного диаметра deff=(w*t)1/2.

Рис. 17. Зависимость сопротивления R от эффективного диаметра deff=(w*t)1/2 нанопровода №2 из висмута. прерывистая кривая с треугольными точками изображает зависимость при комнатной температуре, прерывистая кривая с ромбовидными точками — зависимость при температуре жидкого гелия и синяя сплошная кривая есть теоретическая зависимость.

В ходе работы был произведён расчёт теоретической кривой и для исследованной двумерной тонкой плёнки. Результат представлен на рисунке 18.

Рис. 18. Зависимость сопротивления R от толщины t напылённой двумерной тонкой висмутовой плёнки. Зелёная прерывистая линия соответствует зависимости R(t) при комнатной температуре. синяя прерывистая кривая зависимость R(t) при температуре жидкого гелия, а чёрная сплошная линия теоретическая зависимость R(t) полученная в ходе расчёта в приближении нулевой температуры.

Обсуждение результатов

анализ полученных результатов следует начать с графика для тонкой плёнки. Зависимость R(t), которая была получена в ходе в эксперимента очень похожа на уже существующие результаты, полученные на тонких плёнках висмута [1,2,37]. Из чего мы можем заключить, что поставленный только качественно. Это связано с тем, что плёнка изготовлена из очень большого количества кристаллов (рис. 19), которые имееют разное направление протекания тока относительно кристаллографических осей, т. е. каждая гранула будет иметь свой собственный вклад в общее сопротивление. В следствии этого, совмещение вкладов от каждого из зёрен приведёт к очень сложным результатам. Так как общее сопротивление — сумма всех сопротивлений по трём направлениям x,y,z, и проанализировать такую зависимость будет очень и очень сложно из-за неизвестности направления осей каждой из гранул.

Рис. 19. АСМ изображение плёнки висмута на стекле. Отдельные кристаллы могут быть четко идентифицированы.

Исходя из этого построить теоретическую кривую максимально точно отвечающую экспериментальной кривой достаточно проблематично. однако из графика 18 видно, что даже построенная по достаточно приближённым данным теоретическая кривая довольно-таки хорошо описывает экспериментальные данные. Главный всплеск сопротивления на отметке в ~50 нм довольно чётко совпадает, а также довольно хорошо прослеживается дальнейшее увеличение сопротивления как на теоретической кривой, так и на экспериментальной. К сожалению второй, гораздо меньший по сравнению с первым, пик на теоретической кривой, практически, не совпадает с экспериментом. Одной из причин такого не соответствия как раз и может быть неучтённый вклад от какой-то части гранул, так как график был построен с учётом того, что все гранулы дают одинаковый вклад. Ещё одной причиной может быть тот факт, что на таких малых масштабах измерить точные параметры толщины плёнки довольно сложно, поэтому нельзя исключать тот факт,что фактическая толщина плёнки может быть как чуть меньше так и чуть больше той, что представлена на графике. Данная проблема относится не только к измерению плёнок, но и любых наноструктур малых размеров, в том числе и нанопроводов, речь о которых пойдёт дальше.

Теперь рассмотрим результаты, полученные на монокристаллических квазиодномерных нанопроводах. Зависимость R(t,w) в них может быть смоделирована с достаточно высокой точностью, так как «тело» образца, сформированно из единой монокристаллической гранулы (w,t << L ≈ 1 мкм). Предположив, что образец расположен вдоль бинарной оси, был произведён теоретический расчёт. При такой ориентации образца основной вклад в сопротивление вносят L — электроны, эффективная масса который mex≈0.002m0. При этом размерно-зависимые вклады от остальных L — электронных и T — дырочных зон заметно слабее из-за большей эффективной массы электронов. Но не стоит забывать, что общее R(t,w). На рисунке 16 также отчетливо видно резкое увеличение сопротивления ниже критического значения (t0*w0)1/2 ~ 55 нм. Согласованость теоретической модели и экспериментальных графиков достаточно хорошая, однако не идеальная, как видно из рисунков: при совпадениии основных характеристик зависимостей, вторичные максимумы, предсказывающиеся теорией, не наблюдаются в случае эксперимента.

Такому расхождению есть несколько причин. Первое: теоретическая модель [15] построена для нулевой температуры, в то время как эксперимент проводился при температуре T = 4.2 K, а при такой температуре, тепловое уширение каждого размерно-квантованного энергетического уровня составляет величину в ~ 0.5 мэВ. Это привело к размытию зависимостей. Это можно проследить на представленных в работе рисунках (рис. 16-18), на них отчётливо видно, что при температуре в 300 К значения максимумов сопротивления гораздо меньше чем при температуре 4.2 К. второе: невозможность удовлетворения слишком высоких требований, предъявляемых к изготовлению столь малых наноструктур. К сожалению, сечение измерительных контактов совпадают с сечением «тела» самого образца. То есть даже несмотря на использованный в эксперименте четырёхконтактный метод измерений, они всё равно вносят некое возмущение в измеренный сигнал. Третье: это уже оговоренная ранее неопределённость направления протекания измерительного тока к ориентации кристаллографических осей. Модель [18] предполагает, что линии тока параллельны друг другу, однако теоретический расчёт показывает, что разобщение между направлением протекания тока и кристаллографическими осями всё-таки есть и составляет несколько градусов.

Однако можно предположить, что более лучшего согласия теории с экспериментом вполне можно достичь, учтя при этом вклад в общее сопротивление образца от нескольких кристаллов, тем самым учитывая вклад от прилегающих контактов. Но, к сожалению, из-за не достаточно чёткой определённости этих вкладов, полученные результаты будут больше походить на спекуляцию.

Выводы

В результате проделанного исследования удалось не только экспериментально зарегестрировать квантовый размерный переход в нанопроводах висмута, но и сопоставить полученные данные с теоретической моделью. Эксперимент по выявлению КРЭ был проведён ранее, и моей задачей являлся расчёт и сопоставление полученных данных с теоретической моделью. Расчёт был произведён для нескольких наиболее удачных образцов нанопровода и тонкой плёнки. И как видно из проделанной работы, согласие эксперимента с теорией достаточно высокое. кроме того удалось показать немонотонную зависимость сопротивления R(t,w) от поперечного сечения проводов, дающую четкие флуктуацие сопротивления, а также зарегистрировать переход нанопровода висмута из проводящего состояния в диэлектрическое, вызванный квантово-размерным ограничением. И здесь следует сказать, что в предшествующих работах по исследованию КРЭ этот переход был показан только в тонких плёнках.

Однако следует сказать и о некоторых трудностях. Во-первых технологии производства и обработки столь малых структур, несмотря на большой прогресс, до сих пор не достигли достаточно высокого уровня, чтобы исследовать наноструктуры с достаточной точностью. Из полученных графиков (рис. 16-18) заметно, что экспериментальные кривые построены по небольшому количеству точек, что-то около 18-22, а теоретические кривые были получены для нескольких сотен значений, что говорит о их большей точности относительно эксперимента. Но даже несмотря на это, теоретические и экспериментальные кривые достаточно хорошо согласуются друг с другом. Во-вторых, несмотря на получение нескольких удачных наноструктур, большинство было разрушено ещё до достижения критического предела перехода образца из металла в диэлектрик. Это хорошо видно по приведённому для примера рис. 17, после нескольких итераций уменьшений-измерений, образец был разрушен.

И тем не менее можно смело говорить об успешности проведённого эксперимента и теоретических расчётов. Наблюдаемый квантово-размерный эффект является универсальным для любого проводящего тела достаточно малого размера. поэтому при производстве электронных устройств нового поколения следует учитывать влияние данного эффекта на их работу.

Благодарности

Автор хочет выразить благодарность своему научному руководителю К. Ю. Арутюнову за предоставление интересной темы и помощь в работе, а также — всему профессорско-перподавательскому составу МИЭМ НИУ ВШЭ за создание условий для успешной учебы и научной работы.

список литературы

1. Огрин Ю.Ф., Луцкий В.Н., Елинсон М.И. О наблюдении квантовых размерных эффектов в тонких плёнках висмута // Письма в ЖЭТФ, вып. 3, № 3, стр.: 71-73 (1966).

2. Ogrin, Yu. F., et. al. The temperature dependence of the specific resistance and the Hall constant of dimension-quantized bismuth films // JETP 53, 1218-1224 (1967).

. Nikolaeva, A., Huber, T., Konopko, L., Tsurkan, A. Observation of the semiconductor-semimetal and semimetal-semiconductor transitions in Bi quantum wires induced by anisotropic deformation and magnetic field // J. Low. Temp. Phys. 158, 530-535 (2010).

4. Costa-Krämer, J. L. ,Garcia, N. and Olin, H. Conductance Quantization in Bismuth Nanowires at 4 K // Phys.Rev. Lett. 78, 4990-4993 (1997).

5. Rodrigo, J. G., García-Martín, A., Sáenz, J. J. and Vieira, S. Quantum Conductance in Semimetallic Bismuth Nanocontacts // Phys. Rev. Lett. 88, 246801-1 — 246801-4 (2002).

. Sun, X., Zhang, Z., and Dresselhaus, M. S. Theoretical modeling of thermoelectricity in Bi nanowires // Appl.Phys. Lett. 74, 4005-4007 (1999).

. Heremans, J., et. al. Bismuth nanowire arrays: Synthesis and galvanomagnetic properties // Phys. Rev. B 61,2921-2930 (2000).

. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела: Наука, М., 1978.

. Моисеев С.Г., Виноградов С.В. Основы нанофизики: методические указания к практическим занятиям. -Ульяновск: УлГТУ, 2010.

10. Riikonen K.-P. Quantum Size Effect in Low Dimensional Bismuth Nanostructures // Master’s dissertation., University of Jyväskylä, Department of Physics, Nanoscience Center, (2009).

11. Cohen M. H. Energy bands in the bismuth structure. A nonellipsoidal model for electrons // Physical Review, vol. 121, №. 2, pp. 387-395 (1961).

. Arutyunov K. Yu., Golubev D. S., Zaikin A. D. Superconductivity in one dimension // Physics Reports 464, 1-70 (2008).

13. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твёрдого тела, том 1. Москва: МИР, 1979.

. Gantmakher V. F., Dolgopolov V. T. Temperature dependence of the electron and hole mean free paths in antimony // Soviet Physics JETP, V. 33, № 6, pp: 1215-1219 (1971).

15. Гл. Ред. Прохоров А. М. Большая советская Энциклопедия, 3-е изд. М., «Советская Энциклопедия», 1971.

. Cronin S. B. Electronic Properties of Bi Nanowires. PhD thesis, MIT, 2002.

. Наталья К. С. Гальваномагнитые и термоэлектрические явления в монокристаллических плёнках системы висмут-сурьма // Спб. 2015.

18. Farhangfar S. Quantum size effects in a one-dimensional semimetal // Phys. Rev. B 74, 205318-1 -205318-5 (2006).

. Golin S. Band structure of bismuth: pseudopotential approach // Physical Review, vol.166, № 3, pp. 643-651 (1968).

. de Haas W. J., van Alphen P. M. Leiden Comm., 208d, 212a (1930).

. Ландау Л. Д. Zs., Phys., 64, 629 (1930)

22. Лифшиц И. М., Косевич А. М., ДАН СССР, т. 91, с. 795 (1953).

23. Onsager L., Phil Mag., 43, 1006 (1952).

. Sandomirskii V. B. Quantum size effect in a semimetal film // Sov. Phys. JETP 25, 101-106 (1967).

. Friedman A.N. Some effects of sample size on electrical transport in bismuth // Physical Review, vol. 159, №. 3, pp. 553-563 (1967).

. Rubio R., Agrait N., Vieira S. Atomic-sized metallic contacts: mechanical properties and electronic transport // Physical Review Letter, vol. 76, iss. 14, pp. 2302-2305 (1996).

. Shanenko A. A., Croitoru M. D., Zgirski M., Peeters F. M., Arutyunov K. Yu. Size-dependent enhancement of superconductivity in Al and Sn nanowires: Shape-resonance effect // Physical Review B, 74, 052502 (2006).

. Lehtinen J. S., Zakharov K., Arutyunov K. Yu. Coulumb Blockade and Bloch Oscillations in Superconducting Ti Nanowires // Physical Review Letters, 109, 187001 (2012).

. Farhangfar S. Quantum size effects in solitary wires of bismuth // Phys. Rev. B 76, 205437-1 — 205437-4(2007).

. M. Zgirski, K.-P. Riikonen, V. Touboltsev, and K. Arutyunov «Size Dependent Breakdown of Superconductivity in Ultranarrow Nanowires», Nano Letters, 5, 1029 (2005).

. Arutyunov K., Zgirski M., Riikonen K.-P., Jalkanen P. Quantum limitations of electron transport in ultra-narrow nanowires // IREPHY, vol. 1, № 1, pp. 28-32 (2007).

. M. Savolainen, V. Touboltsev, P. Koppinen, K.-P. Riikonen and K. Yu. Arutyunov, «Ion beam sputtering method for progressive reduction of nanostructures dimensions», Appl. Phys. A 79, 1769-1773, (2004).

. Арутюнов К.Ю. Квантовые размерные эффекты в металлических наноструктурах // Доклады АН ВШ РФ, № 3, стр. 7-16 (2015).

33. McClure, J. W. and Choi, K. H. Energy band model and properties of electrons in bismuth // Solid State Comm. 21, 1015-1018 (1977).

. Lax, B. and Mavroides, J. G Solid State Physics: Academic Press, New York, 1960.

. Sedov E. A., Riikonen K. -P., Arutyunov K. Yu. Quantum size phenomena in single-crystalline bismuth nanostructures // npj Quantum Materials, 2:18 (2017).

. Lutski, V. N. Quantum Size Effects — Present State and Perspectives of Experimental investigations // Phys.Stat. Sol. 1, 199-220 (1970).

Учебная работа. Зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута