Загрузка...
Устойчивость плазмы в магнитных ловушках
Содержание
Введение
Невозмущенное состояние
Потенциальная энергия возмущения
Преобразование кинетического слагаемого
Условие устойчивости
Заключение
Список литературы
Аннотация
Получены уравнения для поперечных компонент смещения плазмы,
минимизирующего функционал Крускала — Обермана потенциальной энергии
МГД-возмущения. Условие устойчивости состоит в отсутствии отрицательных
собственных значений у этой системы уравнений (одно из них
интегро-дифференциальное по продольной координате, другое интегральное) для
любой магнитной поверхности в плазме.
Введение
Настоящая работа касается устойчивости плазмы в магнитных
ловушках, в которых характерный размер изменения удерживающего магнитного поля
сравним с "поперечным" размером плазмы. Интерес к таким ловушкам связан
с тем, что в них возможна МГД-устойчивость в отсутствие магнитной ямы. К этому
классу относится, в частности, ряд осесимметричных конфигураций, образованных
полоидальным магнитным полем, как с замкнутыми силовыми линиями (конфигурации с
обращенным полем (FRC), см. [1]; ловушки типа [2, 3] с внутренними проводниками, их
разнообразные версии описаны в [4,5]), так и открытых (полукасп [6];
ловушка с дивертором [7, 8]; непараксиальный пробкотрон, устойчивый против
"первой" моды [9]). В МГД-модели с изотропным давлением, в которой
стабилизация сильно неоднородным полем проявляется как влияние сжимаемости
плазмы, условие конвективной (желобковой) устойчивости имеет вид [16,17]
, (1)
где p (a) — невозмущенное давление плазмы, a — "метка" магнитной поверхности, U (a) = ∫B-1dl, интегрирование ведется по длине
магнитной силовой линии в плазме, γ=5/3 — показатель адиабаты. В осесимметричных
конфигурациях, рассматриваемых ниже, под магнитными поверхностями понимаются
поверхности вращения, на которых лежат силовые линии и по которым происходит
азимутальный дрейф частиц.
Согласно (1) устойчивы профили давления, не слишком быстро
спадающие с U. Безразлично устойчивый профиль, при
котором инкремент обращается в нуль, есть p* =
p0 (U/U0)
— γ,
где p0 и U0 относятся к некоторой произвольно выбранной магнитной поверхности
внутри плазмы. При выполнении (1) величина давления плазмы ограничена
требованием устойчивости относительно баллонной моды.
В задаче отыскания границы МГД-устойчивости случаю
бесстолкновительной плазмы адекватна кинетическая модель Крускала — Обермана
[18, 19], которая не предполагает изотропизации давления в колебаниях.
Устойчивые по Крускалу — Оберману профили p (a) могут, как показали расчеты, проделанные
для различных конфигураций при β = 8πp/B2 →0 [20 — 23], существенно отличаться от получаемых в
МГД-модели.
Расчеты профилей, устойчивых в модели Крускала — Обермана, при
конечных β до сих
пор отсутствуют. Трудность расчетов устойчивости при конечном β связана с тем, что, хотя общий критерий
устойчивости хорошо известен — положительность функционала потенциальной
энергии возмущения, — до сих пор не разработана регулярная процедура отыскания
при β ≠ 0
того возмущения, на котором достигается минимум (именно им определяется
устойчивость) этого функционала. В случае β → 0 подобной трудности не
возникает, поскольку наиболее опасные возмущения имеют простой вид
"желобков".
заменой "кинетического" слагаемого в выражении Крускала
— Обермана для потенциальной энергии колебаний на величину, ограничивающую его
снизу, удается при β ≠ 0
находить достаточные условия устойчивости, см., например, [24,25]; для плазмы с
изотропным невозмущенным давлением 
при этом получается критерий (1).
В недавней работе [26] условия устойчивости в случае сформулированы, не прибегая к такой
замене.
В данной работе получено условие МГД-устойчивости по Крускалу —
Оберману для плазмы с конечным β без предположения об изотропии невозмущенного давления
(результат [26] охватывается как частный случай).
Невозмущенное
состояние
Рассматриваются осесимметричные равновесные конфигурации
полоидального магнитного поля
, 
, (2)
ψ — потоковая функция, r — расстояние от оси. Поле 
, силовые линии которого лежат на
поверхностях ψ = const (так что естественно взять ψ в качестве метки магнитной поверхности), и
величины, характеризующие плазму, зависят от ψ и координаты, отсчитываемой вдоль 
. Считается, что на магнитной силовой
линии имеется один минимум 
. Функция распределения частиц 
(в задаче важны горячие, вносящие вклад в давление плазмы,
популяции; для сокращения записи будем считать, что такая популяция только одна
— электроны или один сорт ионов) зависит от интегралов движения: энергии ε = ν2 /2 (для удобства поделена на массу частицы), магнитного
момента μ = 
/ (2B) и метки магнитной поверхности, возле которой происходит
движение, ψ.
Магнитное поле и компоненты давления
, (3),
(4)
(M — масса частицы, 
) удовлетворяют уравнениям равновесия [27]
, (5)
, (6)
где 
означает производную в направлении B, 
— плотность азимутального тока во внешних катушках, 
. Плотность тока в плазме составляет, см. [28],
. (7)
Описание отклонений от равновесия удобно проводить в связанных с
равновесным полем 
ортогональных координатах ψ,θ,χ в которых
, 
, 
.
здесь χ —
координата вдоль 
, направление отсчета азимутального угла θ выбирается так, чтобы единичные векторы 
составляли правую тройку, r = r (ψ,χ) —
расстояние до оси от точки на силовой линии ψ = const; якобиан J (ψ,χ) удовлетворяет вне проводников уравнению
, (8)
где 
. Это уравнение получается взятием
циркуляции по контуру, ограничивающему площадку dψdχ в плоскости θ = const, с учетом (7). Выбор χ не однозначен (преимущество того или
иного выбора здесь не обсуждается), и от него зависит граничное условие для J, поскольку решение (8) содержит
произвольный множитель φ (χ).
В дальнейшем равновесное состояние считается заданным, то есть
функции r (ψ,χ), B (ψ,χ), J (ψ,χ), 
(ψ, B (ψ,χ)) известными.
потенциальная
энергия возмущения
Исходим из выражения для потенциальной энергии МГД-возмущения
[29]
, (9) где
, (10)
,
, 
, 
—
смещение элемента плазмы поперек 
, 
, 
; σ и τ считаются положительными (тем самым
исключаются источники неустойчивостей, в случае ∂/∂ψ = 0 именуемых, соответственно, шланговой
и зеркальной); кинетическое слагаемое
=
, (11)
интегрирование по длине 
вдоль силовой линии в (11) ведется между точками поворота
частицы, а для пролетных частиц в случае замкнутой силовой линии — по всей ее
длине. Присутствующая в (10), (11) величина q выражается через коэффициенты Ламе [30]
(12)
и связана с кривизной силовой линии 
: именно, 
.
Функционал W для азимутальной моды m
Записав компоненты смещения в виде [17]
, 
, (13)
m ≥ 1 (выбор начала отсчета θ и фазы θ0 роли не играет), и перейдя в (11) от переменных 
к переменным 
, 
после интегрирования по θ будем иметь
, 
, (14) где
плазма магнитная ловушка устойчивость
, (15)
, (16)введены обозначения
, (17)
, (18)
, (19)
— случае открытой ловушки равен 
, где 
— поле в пробке, а в случае замкнутых силовых линий, когда есть
пролетные частицы, предел 
. В дальнейшем будем полагать 
, имея в виду, что в случае открытой
ловушки величина 
(17) равна в интервале 
(в конусе потерь) нулю. Для изотропной
функции распределения 
эта величина не зависит от 
и равна давлению 
, выражение (15) сводится к формуле (6.16)
(c 
) статьи [17], а (16) переходит в выражение (27.3) работы [19].
Стабилизирующее действие неоднородности поля существенно, если кинетический
член (16) сравним по величине с "гидродинамическим" слагаемым (15).
Преобразование
кинетического слагаемого
Преобразуем кинетический член к другой форме. Заметим, что
величина 
стоит в 
(16) только в сумме с 
. Используем обозначение
. (20)
Перепишем (16) как
(21)
и изменим в (21) порядок интегрирования по 
и 
. Область интегрирования показана на рис.1.
Рис.1. Область интегрирования в плоскости 
в интеграле (21).
Получим
, (22)
где [
] — интервал изменения χ в ловушке. Далее вернемся к записи
величины 
, фигурирующей в (22), в виде (18) и
поменяем порядок интегрирования по λ и координате χ (см. рис.2).
Рис.2. Область интегрирования в плоскости 
в интеграле (22).
Придем к выражению
, (23)
в котором ядра суть
, (24)
(25)
(26)
, (27)
где
, (30)
а величина 
равна
(31)
то есть
. (31а)
Анизотропия распределения частиц проявляется в представлении
кинетического члена в форме (23) тем, что вносит зависимость множителя P в (30) от λ; в случае изотропного распределении
будет, как уже говорилось, просто 
, этот случай рассматривался в [26].
Поскольку 
и 
входят в 
(31а) равноправно, после переименования
переменных в слагаемом с 
в (23) окончательно имеем
(32)
Условие
устойчивости
Для устойчивости достаточно, чтобы при любом ψ величина 
в (14) была для возмущений 
неотрицательна. Примем нормировку
, (33)
где 
— положительная функция. поскольку мы
интересуемся только знаком 
на каждой магнитной поверхности, конкретный вид C (ψ) (характер локализации возмущения по ψ) для дальнейшего не существен, важна лишь
положительность этой величины. Условие устойчивости будет соблюдено, если для
каждого ψ при
нормировке (33) не отрицателен минимум функционала 
относительно варьирования зависимостей 
и 
от χ, или, что
эквивалентно, не отрицателен минимум функционала
. (34)
В выражении для 
азимутальное число m
содержится в 
(15). Слагаемое с m положительно и стремится к нулю при m → ∞. Имея в виду получить наиболее жесткое среди
возможных m условие устойчивости, положим (как в
[17]) m >>1 и данное слагаемое опустим. При
этом компонента будет входить в 
, как и в 
, только в комбинации 
.
Функционал 
при m → ∞ назовем
.
Обозначим интересующий нас 
через 
. Этот минимум достигается на компонентах
смещения (13), удовлетворяющих уравнениям Эйлера. При варьировании 
в (34) принимаем во внимание в случае
замкнутых силовых линий ("длиной" 
) требование
, (35)
а в случае открытой ловушки поставим на торцах 
граничные условия
(36)
(эти условия допускают существование желобковых и баллонных мод).
В обоих случаях приходим к уравнению Эйлера
. (37)
Варьирование 
дает второе уравнение Эйлера
. (38)
В случае изотропного невозмущенного распределения уравнения (37),
(38) переходят в уравнения, полученные в [26].
Если система интегро-дифференциальных уравнений (37), (38) с
дополнительным условием (35) (или граничными условиями (36)) не имеет ни при
каком ψ
собственных значений 
, плазма устойчива.
При β → 0
в первом приближении по β из (38)
получается 
, т.е. 
, а из (37) будем иметь X = const. (критерий устойчивости [31], см. также
книгу [32], получится в следующем приближении по β). Это с учетом (13) означает, что
поперечное смещение 
(дрейф в скрещенных равновесном магнитном
поле и электрическом поле возмущения) происходит в результате действия
потенциального поля 
, имеющего желобковый вид: Φ не зависит от χ.
Заметим, что при замене кинетического слагаемого в на выражение 
, ограничивающее 
снизу, которое не содержит интегрирования
по λ и
включает только интегралы по χ (например, для 
имеем, согласно теореме сравнения [18, 19], 
)), интегральное и
интегро-дифференциальное уравнения Эйлера, заменяющие (37), (38), будут
уравнениями с вырожденными ядрами. Это упрощает их решение и отыскание
достаточного условия устойчивости (при сводящегося для желобковой моды к (1), см. [24, 26]).
Заключение
Для кинетического слагаемого в функционале Крускала-Обермана
потенциальной энергии МГД-возмущения получено выражение в форме двойного интеграла по продольной
координате (32). Минимизация по двум компонентам смещения при нормировке (33) приводит к системе
уравнений Эйлера, состоящей из одного интегро-дифференциального и одного
интегрального уравнений (37), (38). Вид ядер в интегральных слагаемых
определяется функцией распределения частиц по питч-углу, формулы (24) — (31).
Условием МГД-устойчивости служит отсутствие отрицательных собственных значений
у этой системы.
Список
литературы
1.
Tuszewskii M. // Nucl. Fusion. 1988. V.28. P. 2033.
.
Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных
реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.353.
3. Ohkawa T., Kerst D. W. // Phys. Rev. Lett. 1961. V.7. P.41.
.
Фюрт Г. // Физика высокотемпературной плазмы /Под ред. М.С. Рабиновича.
М.: мир, 1972. С.172.
.
Морозов А.И., Савельев В.В. // Успехи физ. наук. 1998. Т.168. С.1153.
.
Димов Г.И. // Успехи физ. наук. 2005. Т.175. С.1185.
. Lane B., Post R. S., Kesner J. // Nucl. Fusion. 1987. V.27. P.227.
.
Пастухов В.П., Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1991. Т.17. С.1043.
.
Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.42. С.29.
. Casey J. A., Lane B. G., Irby J. H. et al. // Phys.
Fluids. 1988. V.31. P. 2009.
. Yasaka Y., Takano N., Takeno H. // Transactions of Fusion
Technology. 2001. V.39. P.350.
. Kulygin V. M., Arsenin V. V., Zhiltsov V. A. et al. //
Nucl. Fusion. 2007. V.47. P.738.
. Kesner J., Boxer A. C., Ellsworth J. L. et al. // 21st
IAEA Fusion Energy Conf., Chengdu, China, 2006. IC/P7-7.
. Yosida Z., Ogawa Y., Morikawa J. et al. // Ibid.
IC/P7-14.
. Берникова М.М., Вайтонене А.М., Вайтонис В.В. и др. // вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез.
2003. Вып.1. С.22.
.
Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных
реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.380.
17. Bernstein A. B., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M.
// Proc. Roy. Soc. London. 1958. V. A244. P.17.
. Kruskal M. D., Oberman C. L. // Phys. Fluids. 1958. V.1.
P.275.
. Rosenbluth M. N., Rostoker N. // Phys. Fluids. 1959. V.2.
P.23.
. Adler E. A. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P. 2053.
.
Михайловская Л.В. // Физика плазмы. 1988. Т.14. С.1241.
.
Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1992. Т.18. С.657.
.
Арсенин В.В., Куянов А.Ю. // Физика плазмы. 2001. Т.27. С.675.
. Walstead A. E. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P.1358.
. Simakov A. N., Hastie R. J., Catto P. J. // Phys. Plasmas. 2000. V.7. P.3309.
.
Арсенин В.В. // Физика плазмы. 2008. Т.34. №5.
. Grad H. // Phys. Fluids. 1967. V.10. P.137.
.
Шафранов В.Д. // вопросы теории плазмы /Под ред. М.А. Леонтовича. Вып.2.
М.: Госатомиздат, 1963. С.92
. Taylor J. B., Hastie R. J. // Phys. Fluids. 1965. V.8.
P.323.
30.
Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.:
Издательство АН СССР, 1951.
.
Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций
/Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.370.