Учебная работа. Теоретическое и численное исследование распространения электромагнитных волн в пространственно-периодических нелинейных средах

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Теоретическое и численное исследование распространения электромагнитных волн в пространственно-периодических нелинейных средах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ российской ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

"КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

(ФГБОУ ВПО "КубГУ")

Физико-технический факультет

Кафедра физики и информационных систем

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ исследование РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

работу выполнил Соляр Валерий Александрович

Специальность 010700 — Физика

Научный руководитель

канд. физ.-мат. наук, доцент Е.Н. Тумаев

Нормоконтролер канд. пед.-физ наук Л.Ф. Добро

Краснодар 2013

Реферат

Дипломная работа ____ стр., 28 ист., 3 рис., 1 табл.

ГЕНЕРАЦИЯ, ГАРМОНИКА, ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ, СИСТЕМА ФЛОКЕ — БЛОХА.

исследовать процесс генерации 2-й гармоники в периодически поляризованных нелинейных кристаллах в том случае, когда приближение укороченных уравнений неприменимо, и необходимо учитывать дифракцию электромагнитных волн.

Произвести обзор методов описания распространения электромагнитных волн в периодических средах используя волновые уравнения, выбрать подходящий метод для описания генерации 2-й гармоники в периодически поляризованной среде, исходя из условия фазового синхронизма получить расчетные формулы связывающие показатели преломления на частоте основной волны и 2-й гармоники, получить выражение для амплитуды волны 2-й гармоники.

Содержание

Введение

1. классические методы построения решений уравнения хилла

1.1 Одномерные периодические среды

1.2 Система Флоке-Блоха

1.3 Метод интегрального уравнения. Вывод уравнения. доказательство его эквивалентности системе Флоке-Блоха

1.4 Теория возмущений

1.5 Двуxволновая динамическая теория дифракции — дифракция Брэгга

1.6 стандартная теория связанных волн

1.7 Вывод уравнений связанных волн

1.8 Связь динамической теории дифракции с теорией связанных волн и условия применимости последней

1.9 Модифицированная теория связанных волн

1.10 Вывод уравнений связанных волн в модифицированной теории

1.11 Сравнение стандартной и модифицированной теорий связанных волн

1.12 Условия применимости модифицированной (МТСВ) и обычной (ТСВ) теорий связанных волн

1.13 Оптика несинусоидальных волн

1.14 Нелокальная дисперсия слоистых сред. метод фазовой координаты

1.15 Решение связанных волновых уравнений методом последовательных приближений

2. Генерация второй гармоники в нелинейных периодических структурах

2.1 Вывод волнового уравнения для периодических сред с квадратичной нелинейностью. Корректность уравнения (1) первой главы для одномерной задачи

2.1 Решение волнового уравнения для волны, бегущей в одну сторону

2.2 Решение задачи с конкретным профилем линейного отклика среды

Заключение

список использованных источников

Введение

В данной дипломной работе рассматривается задача о выяснении условия фазового согласования в средах с регулярной доменной структурой, составление и исследование уравнений, описывающих распространение электромагнитных волн в пространственно-периодических нелинейных средах. Примерами таких сред могут служить кристаллические твёрдые тела.

Примером такого тела может служить сегнетоэлектрический кристалл ниобата лития. Также очень важную роль играют искусственно созданные периодические структуры типа многослойных оптических фильтров.

Распространение волн в таких структурах сопровождается появлением новых качественных особенностей, наиболее заметных в том случае, когда величина периода структуры соразмерна с длиной волны.

Для начала нужно рассмотреть одномерный случай, дабы математический аппарат был наиболее простым. К тому же, такой подход может дать нам методическую основу для обобщения на двумерный и трёхмерный случай. В первой части работы будет проведён обзор классических методов исследования периодических структур: метод Флоке-Блоха решения уравнения Хилла, решение уравнения Хилла с помощью функции Грина, теория возмущений и т.д. Данные методы можно найти в различных монографиях и статьях. В частности, в статье Карпова и Столярова из журнала "Успехи физических наук" под названием "Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью".

следующим этапом будет рассмотрение, во первых, влияния нелокальной дисперсии на распространение и отражение электромагнитных волн в слоистых средах, во вторых, генерации второй гармоники. Как правило, при математическом рассмотрении используются укороченные уравнения для амплитуд, ввиду того, что при решении общего уравнения мы наталкиваемся на непреодолимые математические трудности.

Для укороченных уравнений был разработан метод медленно меняющихся амплитуд, который также будет приведён. однако при рассмотрении ниобата лития возникают следующие трудности: ввиду сопоставимости периода пространственной неоднородности и длины волны, метод укороченных уравнений неприменим, посему нужно возвращаться к исходному уравнению. Основной целью работы является решение уравнений Максвелла для слоистой среды с квадратичной нелинейностью, что позволит выяснить условие фазового согласования. Таким образом, при успешном завершении исследования, возможно будет описать поведения электромагнитных волн, для начала, лазерного излучения, а после, и волновых пакетов. А также, рассмотреть многомерные задачи, уже имея на руках методическую базу.

электромагнитная волна периодическая среда

1. Классические методы построения решений уравнения хилла

1.1 Одномерные периодические среды

В общем случае одномерная периодическая среда представляет собой слой толщиной (рис. 2), заполненный средой с периодически меняющейся вдоль оси диэлектрической проницаемостью (а — период структуры).

Если среда является поглощающей (или усиливающей), то ее диэлектрическая проницаемость комплексна .

практически для большинства известных сред , при этом вещественная часть связана с показателем преломления , а мнимая часть связана с коэффициентом поглощения по интенсивности соотношением , где , — длина волны света в вакууме. рассмотрим для простоты нормальное падение плоской световой волны на одномерную периодическую структуру.

В этом случае независимо от поляризации света уравнение для напряженности электрического поля внутри слоя имеет вид:

— толщина слоя, и — диэлектрические проницаемости окружающих слой однородных сред, — период функции .

рисунок 1− Слой среды с одномерной периодичностью

(1) где

.

Уравнение (1) называют уравнением Хилла. Именно его мы и возьмем в качестве основного уравнения, описывающего распространение света в одномерной периодической среде.

В силу линейности уравнения Хилла его общее решение представляет собой суперпозицию двух независимых частных решений и :

, (2)

где и — произвольные постоянные. Для периодической среды частное решение уравнения (13) согласно теореме Флоке можно представить в виде

(3)

где — так называемый (вообще говоря, комплексный: ) характеристический показатель, а — периодическая функция с периодом . Решение вида (15) дает для полного поля выражение

()

Это есть пространственно модулированная ( периодична), неоднородная () электромагнитная волна, бегущая (при ) вдоль оси с фазовой скоростью .

.2 Система Флоке-Блоха

суть этого метода заключается в следующем. В соответствии с (3) представим решение уравнения (1) в виде:

, (4)

где — неизвестные коэффициенты, определяющие вид периодической функции . Разложим также в ряд Фурье периодическую диэлектрическую проницаемость среды (а — период структуры):

, (5) здесь:

. ()

Подставляя (16) и (17) в уравнение (13), выделяя слагаемое с т = 0 и заменяя в двойных бесконечных суммах m и l индекс суммирования l + т на l, a затем в сумме по т индекс суммирования т на , получим бесконечную систему уравнений относительно коэффициентов , имеем:

, (6)

где , , , …; — символ Кронекера, а множитель обращает в нуль слагаемое с т — l. Система уравнений (18) является точной. Приравнивание нулю ее определителя дает дисперсионное уравнение для характеристического показателя , а неизвестные коэффициенты можно выразить через А0 либо методами цепных дробей, либо с помощью известных способов вычисления бесконечных определителей.

На практике вместо бесконечной системы уравнений решается система уравнений конечного порядка, полученная из (18) путем отбрасывания высших гармоник. порядок приближенной системы определяется требуемой точностью вычислений. Отметим, что в отсутствие модуляции диэлектрической проницаемости среды, когда все , уравнение (18) имеет отличные от нуля решения, , только в том случае, когда волновой вектор равен:

, …, ()

где относится к волне, бегущей в положительном направлении оси z, а — волне, бегущей в противоположном направлении.

1.3 Метод интегрального уравнения. Вывод уравнения. доказательство его эквивалентности системе Флоке-Блоха

При нахождении приближенных аналитических решений уравнения (1) можно исходить из эквивалентного ему интегрального уравнения:

, (7)

в котором периодическое возмущение имеет нулевое среднее

, (8)

где , а . Для бесконечной периодической структуры в формуле (19) удобно перейти от интегрирования по всей оси к интегрированию по периоду а. Воспользовавшись соотношениями периодичности и , вместо (7) получим:

, (9) где

, . (10)

Теперь перейдём к выводу и доказательство. Данный материал взят из статьи Карпова и Столярова "распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью". Волновое уравнение (1) с помощью и свойств можно записать в виде:

(11)

Если теперь представить левую часть в виде

(12)

То для функции Грина получим уравнение

(13)

Разлагаем и в интегралы Фурье:

, (14)

Подставляя эти выражения в (13) и интегрируя затем получающиеся интегралы с помощью теории вычетов по комплексным полюсам

(и ), получим

(15)

Теперь покажем что из уравнения (7) получается уравнение (9). Разобьём интеграл по от до на два интеграла от 0 до и от до 0. каждый из этих интегралов разобьём на бесконечные суммы интегралов по периоду .

где . Покажем, что в силу периодичности и теоремы Флоке, получим:

Первое равенство получается с помощью замены .

используя замену переменных интегрирования , имеем:

где

и .

Подставляя последнее выражение для в формулу (19), получим для

,

где индекс суммирования в (19) заменён на , а . последний интеграл с где вычисляется с учетом того, что

и

Подставляя это выражение в (21), получим искомую формулу (10).

Теперь покажем что интегральное уравнение (9) с выражением для вида (10) приводит к системе Флоке-Блоха. Для этого нужно представить формулу (9) разложения в ряды Фурье

(22)

после сокращения на с учетом того, что

, получим:

где . если сделать замену индексов суммирования , то получим

.

Умножив на и заменив на на , т.е. при получим:

,

что совпадает с системой Флоке-Блоха.

.4 Теория возмущений

рассмотрим вначале Борновское приближение или так называемую многоволновую дифракцию Рамана-Ната.

При получении приближенных аналитических формул в борновском приближении будем исходить не из интегрального уравнения (7) (или (9)) и его последующего решения методом итераций, а из эквивалентной ему системы уравнений (6) динамической теории дифракции. чтобы построить приближенное решение системы (6) для в (4), будем рассматривать ее правую часть как возмущение. Это возможно, например, при малой амплитуде модуляции диэлектрической проницаемости, т.е. при и . Считая при этом, что и решая систему уравнений (6) методом последовательных приближений, мы получим ряд теории возмущений для характеристического показателя и амплитуд [16]. С учетом первых членов этого ряда имеем:

,

,

где — длина волны в вакууме.

Описанная процедура решения соответствует борновскому приближению хорошо известному в квантовой теории рассеяния и при расчете рассеяния электромагнитных волн на ультразвуке. Это приближение основано на разложении поля по степеням малого параметра, в который входят величина возмущения и отношение размера рассеивателя к длине волны. Можно увидеть, что в нашем случае (25) таким параметром малости является величина

, (26)

где — амплитуда модуляции диэлектрической проницаемости, т.е. , а — волновой вектор света в однородной среде.

Полное поле в (4) с учетом решений (25) представляет суперпозицию плоских электромагнитных волн с различными амплитудами и волновыми векторами

, , , , …

При малой глубине модуляции диэлектрической проницаемости и при сравнимых между собой длине волны и периоде структуры а, когда мал параметр (24) борновского приближения, все амплитуды малы по сравнению с амплитудой нулевого приближения. Это значит, что при в нулевом приближении полное поле в (4) состоит в основном из одной волны с амплитудой и с постоянной распространения, равной , что соответствует фазовой скорости , ее распространения, равной . Возбуждаемые от этой волны на неоднородности вторичные волны с малыми амплитудами создают слабый волновой "фон" в виде набора волн, бегущих с разными скоростями (по величине и направлению) и имеющих малые амплитуды , вычисляемые по приближенным формулам (25).

1.5 Двуxволновая динамическая теория дифракции — дифракция Брэгга

Рассмотренное ранее борновское приближение справедливо тогда, когда малы амплитуды всех волн, кроме одной амплитуды , т.е. когда распространение света имеет в основном одноволновый характер. Как видно из тех же решений (25) борновского приближения условие малости амплитуды по сравнению с нарушается для тех номеров , для которых длина волны излучения удовлетворяет условию Брэгга:

, или , (27)

где , , , … — номер брэгговского резонанса. Условие (27) соответствует случаю п-го брэгговского резонанса, когда амплитуда -й гармоники может стать равной или больше амплитуды , основной (падающей на слой) волны, у которой согласно (6) . При этом, как видно из (25), амплитуды остальных гармоник с по-прежнему остаются малыми, а это значит, что распространение света в этом случае имеет в основном двухволновый характер. Для рентгеновских лучей в кристаллах такой случай известен как режим двухволновой динамической теории дифракции.

Решая систему уравнений (18) с учетом двухволновой дифракции, мы можем в первом приближении пренебречь всеми остальными гармониками, кроме -й с амплитудой и основной с амплитудой , если по-прежнему . Тогда приближенная система уравнений примет вид [2]

, (27)

где , и — комплексные величины, определяемые по формуле (). Условие разрешимости этой систем дает дисперсионное уравнение для характеристического показателя :

. (28)

вблизи брэгговского резонанса (13) и при достаточно малой амплитуде модуляции диэлектрической проницаемости () уравнение (28) имеет следующее приближенное аналитическое решение:

, , (29) где

, , . ()

Выражение для в (28) получено в предположении малости отстройки в () от брэгговского резонанса (26), когда . Величины обычно называются постоянными связи, и они определяют величину дифракционного взаимодействия основной гармоники с амплитудой с -й гармоникой с амплитудой . Коэффициент характеризует поглощение света в однородной среде. Величина в (29) определена таким образом, что , а . Из системы уравнений (27) с использованием решения (29) можно получить связь между амплитудами и :

, (30)

При удалении частоты волны от брэгговского резонанса (26), т.е. в случае, когда и , но по-прежнему , величина стремится к величине , а выражение для амплитуды приобретает вид, совпадающий с решениями, найденными ранее в борновском приближении.

Точность вычислений можно повысить, если как и в системе (27) в левой части равенств оставить слагаемые с и , а оставшиеся нерезонансные члены в суммах в правой части (25) учесть по теории возмущений. такая процедура приводит к перенормировке постоянных связи и , а также к спектральному сдвигу брэгговского резонанса относительно его положения, определяемого равенством (25). В результате сдвиг центра брэгговского резонанса, при наличии поглощения , пропорционален величине поглощения , a в прозрачной среде () он содержит третью степень малых постоянных связи . Изменение постоянных связи при этом пропорционально первой степени .

основным результатом, следующим как из общей теории [10, 19], так и из конкретных формул (28), является существование на дисперсионной кривой вблизи п-го брэгговского резонанса в случае непоглощающих сред (, и ) области запрещенных частот где решение (28) для комплексно (). В этой области запрещенных частот электромагнитные волны () становятся затухающими (для периодически нестационарных сред эти решения становятся неустойчивыми). Вне области запрещенных частот () и решения (28) для чисто вещественны, а электромагнитные волны становятся распространяющимися. Как следует из формул, (28) ширина области запрещенных частот равна удвоенной постоянной связи , а зависимость имеет параболический характер с . В поглощающих средах при , характеристический показатель всегда комплексен и волны любой частоты затухают в пространстве в большей или меньшей степени. В отсутствие периодической модуляции среды, когда , дисперсионная зависимость вырождается в прямую линию, что соответствует постоянству скорости распространения света в однородной среде.

кроме дисперсионной зависимости интерес представляет также зависимость от частоты величины , которая определяет относительную амплитуду -й гармоники. В условиях брэгговского резонанса (25) эта -я гармоника имеет согласно (25) волновой вектор , совпадающий по величине с волновым вектором основной (падающей на среду) волны, но направленный в противоположную сторону. Поскольку [20] амплитуды остальных волн с малы по сравнению с и , то величина имеет смысл коэффициента брэгговского отражения для бесконечной одномерной периодической среды. В области запрещенных частот, когда квадрат модуля коэффициента брэгговского отражения , амплитуда -й гармоники в условиях брэгговского резонанса сравнивается с амплитудой исходной нулевой гармоники.

Выражение (4) с характеристическим показателем (29) является одним из независимых решений уравнения (1). Зная решения и , можно рассчитать характеристики ограниченной одномерной периодической среды путем сшивания полей на ее границах.

1.6 стандартная теория связанных волн

Этот подход к решению уравнения (1) с периодической диэлектрической проницаемостью был впервые использован X. Когельником для анализа рассеяния света на фазовых голограммах при малой гармонической модуляции [21]. Проиллюстрируем этот подход для более общего случая среды с произвольной периодической зависимостью . При этом будет использовано лишь основное предположение Когельника о малости преобразования волн на периоде структуры, которое хорошо выполняется в случае близости частоты падающей на слой волны к частоте брэгговского резонанса.

1.7 Вывод уравнений связанных волн

суть используемого метода состоит в следующем [26]. Решение уравнения (13) представляется в виде суперпозиции двух встречно бегущих волн

(31)

с переменными амплитудами и с волновым вектором , соответствующим распространению волн в однородной поглощающей среде с комплексной диэлектрической проницаемостью , где , а — коэффициент поглощения. Подставляя выражение (31) в уравнение (1), используя разложение (5) для величины периодического возмущения

и вводя величину для отстройки от -го брэгговского резонанса, получим одно точное уравнение, в которое входят амплитуды прямой и обратной волн

Если, согласно Когельнику, на периоде структуры а имеет место малое преобразование прямой волны в обратную , то функции и их производные, а также сомножители можно считать постоянными на периоде структуры а. В этом случае, умножая уравнение (31) последовательно на

и на

,

а затем, усредняя полученные равенства по периоду структуры "а", получим приближенную систему связанных уравнений для амплитуд прямой и обратной волны [26]:

,

При усреднении по периоду в суммах по "т" обращались в нуль все слагаемые за исключением резонансных слагаемых соответственно с и , а также обращались в нуль выражения, содержащие и их производные, умноженные на .

Условия постоянства на периоде "а" амплитуд и их производных, а также сомножителей выполняется тогда, когда

, , , или

, (33а) где

, , . (33б)

При выводе последнего неравенства в (33а) было использовано условие брэгговского резонанса.

Система уравнений (33) с постоянными коэффициентами, связывающая амплитуды и , может быть решена стандартной экспоненциальной подстановкой. Однако в наиболее распространенном методе Когельника обычно пренебрегается вторыми производными от в системе (33). Тогда эти уравнения переходят в стандартную систему уравнений связанных волн Когельника:

,

,

где , — коэффициент поглощения, а — отстройка от n-го брэгговского резонанса.

Аналогичную систему приближенных уравнений можно получить и из интегрального уравнения (7), если в него подставить решение (31), разбить области интегрирования по на две, где имеет определенный знак, а затем приравнять коэффициенты перед в левой и в правой части равенства (7). Тогда получим точную систему интегральных уравнений

,(34)

.

Если опять использовать условия (32а) близости к п-му брэгговскому резонансу и малости изменения амплитуд на периоде, то систему () можно привести к системе (34) уравнений связанных волн. однако система () точных интегральных уравнений удобна тем, что позволяет с помощью простого итерационного метода оценивать следующие приближения для .

Общее решение системы приближенных уравнений (34) имеет вид:

,

,

в которых величины и определяются соответственно равенствами (28) и (30). постоянные и определяются из граничных условий для полей при и .

1.8 Связь динамической теории дифракции с теорией связанных волн и условия применимости последней

Следует отметить, что все результаты в теории связанных волн, касающиеся дисперсионных зависимостей, распределения поля, коэффициентов отражения и пропускания и т.п. могут быть получены также с помощью динамической теории дифракции. Как видно из сравнения формул (29) и (30) с решениями (35), оба подхода вблизи брэгговского резонанса дают одинаковый результат [7], но расчетная схема динамической теории дифракции оказывается более громоздкой.

Обсудим области применимости теории связанных волн, следующих из неравенств (33а) и соотношений (33б). Для перехода к уравнениям связанных волн (34) кроме малости поглощения на периоде структуры a и малости отстройки по сравнению с требуется еще, чтобы было мало также изменение амплитуды на периоде структуры. Это изменение характеризуется величиной постоянной связи в (33б), для которой справедлива оценка , где — максимальное отклонение в . Таким образом, основным условием применимости теории связанных волн является условие

,

или (см. выражение (25)):

. (36)

С другой стороны, малость параметра в формулах (24) является условием справедливости динамической теории дифракции. Это значит, что области применимости теории связанных волн (ТСВ) и динамической теории дифракции (ДТД) совпадают друг с другом. Именно поэтому совпадают между собой и все результаты, полученные с помощью этих теорий.

Как видно из оценки (36), обе теории достаточно хорошо описывают распространение света в условиях брэгговских резонансов низкого порядка, когда в соотношениях (26) п= 1,2,3, а период структуры а сравним по порядку величины с длиной волны излучения . При фиксированной длине волны увеличение периода структуры а, т.е. номера брэгговского резонанса в (26), или глубины модуляции , параметр малости в (25), или в (36), начинает расти, и точность аналитических формул, полученных по обеим теориям (ТСВ и ДТД), падает. Физической причиной этого является возрастающая роль многоволновой и многократной дифракции. Действительно, с одной стороны, с ростом параметра в (25) увеличиваются амплитуды гармоник Ат в (24) и, следовательно, увеличивается суммарный вклад в полное поле в (4) от этого волнового "фона". С другой стороны, становится существенным вклад от последовательных многократных рассеяний, т.е. вклад следующих порядков теории возмущений. Согласно формулам (24) амплитуды Ат (слагаемые с ) однократно рассеянных (дифрагированных) волн пропорциональны параметру в (25). Эти однократно дифрагированные рассеянные волны могут затем дифрагировать еще раз на неоднородностях , давая вторичные волны, амплитуды которых будут пропорциональны . Вторичные волны, в свою очередь, могут порождать третичные волны с амплитудами, пропорциональными , и т.д. Тогда амплитуды п-раз последовательно рассеянных (дифрагированных) волн будут пропорциональны . этой же величине будет пропорционален вклад первого порядка теории возмущений для п-го брэгговского резонанса: см. формулы (29), в которых для гармонической модуляции величины ~. Это означает, что в условиях, близких к п-му брэгговскому резонансу (26), сравнимый вклад в суммарную амплитуду брэгговски дифрагированных волн могут дать п-кратно нерезонансно рассеянные (т.е. на неоднородностях на размерах порядка длины волны) первичные дифрагированные волны, () — кратно рассеянные вторичные волны, () — кратно рассеянные третичные волны и т.д. и однократно рассеянные волны п-го брэгговского резонанса. таким образом, для нахождения полной амплитуды дифрагированных волн п-го брэгговского резонанса, пропорциональной , нужно просуммировать вклады от всех указанных выше п каналов рассеяния. сделать это оказалось весьма непросто. Попытки построения такой многоволновой и многократной теории дифракции привели к необходимости использования численных расчетов, что существенно снизило простоту и ясность трактовки результатов, характерных для приближенных аналитических формул. Ниже будет рассмотрена другая программа приближенного аналитического расчета преобразования волн вблизи п-го брэгговского резонанса, т.е. для больших периодов структуры с помощью модифицированной теории связанных волн (МТСВ), в которой осуществляется частичный учет многоволновой и многократной дифракции волн.

1.9 Модифицированная теория связанных волн

идея модификации теории связанных волн была сформулирована и затем применена к расчету преобразования волн в периодически гофрированных волноводах [22,27]. последующее сопоставление результатов расчетов по этой теории с точными численными расчетами показало хорошее их совпадение как вблизи брэгговских резонансов, так и вдали от них, в том числе и для слоев периодической среды с малым числом периодов и заметными глубинами модуляции. Это подтверждает тот факт, что в модифицированной теории связанных волн осуществляется, по-видимому, частичный учет многоволновой и многократной дифракции волн на периодических неоднородностях , особенно для высоких брэгговских резонансов [8].

1.10 Вывод уравнений связанных волн в модифицированной теории

Суть метода состоит в следующем [7]. Подставим в уравнение (1) решение для в виде двух встречно бегущих волн с переменными амплитудами и и геометрооптическими фазами:

,

. (37)

Тогда, если амплитуды и удовлетворяют системе уравнений

,

,

где

, (39)

то уравнение (1) обращается в тождество. таким образом, задача сводится к решению системы уравнений (38).

Для получения из точной системы (38) приближенной и более простой системы уравнений воспользуемся методом усреднения по быстрым осцилляциям [23]. Практически этот метод означает, что основной вклад в точные решения (38) дают медленно меняющиеся составляющие коэффициентов ; именно они и учитываются при построении приближенного решения. В силу периодичности имеем , так как

,

ибо в силу периодичности

.

Тогда, вводя среднее периодической среды, получим, что величины являются периодическими функциями и их можно разложить в ряды Фурье. В результате:

, (40) где

.

В формуле (40) интеграл понимается в смысле главного значения, а сумма по учитывает вклад в величины скачков диэлектрической проницаемости в точках разрыва этой функции, находящихся внутри периода [22,27]. Если разрыв функции имеет место в начале и в конце периода, то естественно, что он учитывается только один раз, например, в начале периода. Величины соответствуют предельным значениям диэлектрической проницаемости справа и слева от точки разрыва .

вблизи п-ro брэгговского резонанса (26), когда мала отстройка от него, т.е. , имеем:

, ,

,

,

,

где в выделены медленно меняющиеся слагаемые, а в не учитываются слагаемые с . Тогда усреднение по быстрым осцилляциям эквивалентно пренебрежению всеми во вторых слагаемых для в (42). В результате система (37) приобретает вид системы уравнений (34), в которой заменяется на , на . Ее решения строятся аналогично решению уравнений связанных волн Когельника.

1.11 сравнение стандартной и модифицированной теорий связанных волн

Как видно из приведенного рассмотрения и сопоставления формул для в (), (33а) и (41) модифицированная теория связанных волн отличается от стандартной теории Когельника, во-первых, значением и, во-вторых, величиной постоянных связи . Первый фактор приводит к более точному по сравнению с теорией Когельника определению спектрального положения брэгговского резонанса. В обычной динамической теории дифракции сдвиг брэгговского резонанса учитывается только с помощью членов второго и более высокого порядка теории возмущений [20]. здесь же он получается сразу в первом приближении. Во-вторых, постоянные связи , рассчитанные с помощью формул (41) МТСВ, описывают также многоволновую дифракцию и являются в этом смысле более точными, чем постоянные связи в формулах () в теории Когельника. связано это с тем, что в формулы (40) для периодически модулированная функция входит под интегралом сложным образом так, что при разложении этих функций по малой глубине модуляции в постоянные связи будут входить все порядки разложения по этой малой величине. Это фактически и означает учет многоволновой и многократной дифракции волн на периодических неоднородностях .

В частности, например, при гармонической модуляции диэлектрической проницаемости с помощью формул () и () получаем следующие выражения для постоянной связи в теории Когельника (при ):

. ()

где было использовано ; — символы Кронекера, равные нулю при , и единице — при .

Из формулы () следует, что при гармонической модуляции брэгговская дифракция по теории связанных волн Когельника осуществляется только в резонансы первого порядка, когда . Для всех резонансов более высокого порядка с п = 2,3,. брэгговская дифракция на гармонической модуляции по теории Когельника отсутствует, ибо коэффициенты связи для них обращаются в нуль. В то же время в модифицированной теории связанных волн при гармонической модуляции отличны от нуля постоянные связи в (41) для любого порядка п брэгговской дифракции. такой же результат следует и из точных численных расчетов [10,12,15].

Для более корректного сравнения обычной (ТСВ) и модифицированной (МТСВ) теории связанных волн обратимся к выражению (41). Из него следует, что при стремлении глубины модуляции в функции к нулю постоянные связи в (41) автоматически переходят в постоянные связи (29), появляющиеся как в теории дифракции, так и в теории связанных волн Когельника. действительно, поскольку величина в (41) пропорциональна величине , то при можно в остальных подынтегральных выражениях положить . Тогда и

. (43)

При получении последнего равенства, после взятия интеграла по частям, были использованы: периодичность функции и выражение для в формуле (). Из формулы (42) с учетом условия (25) для п-го брэгговского резонанса и малости ( и ) получаем выражения для совпадающие по величине с постоянными связи в теории Когельника, ибо и , а .

На конкретном примере малой гармонической модуляции проследим более детально за учетом многоволновой дифракции в модифицированной теории связанных волн. Для этого сравним более подробно выражения (40) для постоянных связи с аналогичными выражениями для в теории Когельника (см. формулы в (33б) и в (34)). При подстановке гармонически модулированного выражения для в выражение (41) будем в силу пренебрегать зависимостью в амплитуде подынтегрального выражения, но в отличие от выражения (42) будем дополнительно учитывать вклады первого порядка по в фазу подынтегрального выражения. Если затем использовать интегральное представление для функции Бесселя п-го порядка и ее свойства, для величины в (41) получим следующее приближенное аналитическое выражение ():

,

,

где есть параметр в (25), являющийся малым параметром как в динамической теории дифракции, так и в теории связанных волн Когельника (см. условие (36))

1.12 Условия применимости модифицированной (МТСВ) и обычной (ТСВ) теорий связанных волн

Выражение (44) для в МТСВ для сред с малой глубиной модуляции диэлектрической проницаемости можно проанализировать в двух предельных случаях:

) при длинах волн , больших или сравнимых с периодом структуры "а", т.е. при , или , и 2) при малых длинах волн и больших периодах "а", т.е. при , или .

В первом случае при и оказывается малым параметр в формулах (44). Тогда, используя разложение функции Бесселя и соотношение брэгговского резонанса (26), из формул (44) получаем:

(44а)

.

Отсюда видно, что для первого брэгговского резонанса () постоянные связи по величине совпадают с постоянными стандартной теории связанных волн Когельника. При постоянные связи в () для динамической теории дифракции и для ТСВ Когельника в (33б) обращаются в нуль. В то же время величины в (44а), т.е. в МТСВ, отличны от нуля при любом п и пропорциональны п-й степени малого параметра . Это обстоятельство качественно уже объяснялось как одно из проявлений многоволновой и многократной дифракции.

Формулы (44) для модифицированной теории связанных волн допускают анализ и в противоположном предельном случае, когда период структуры а много больше длины волны и параметр в (44) много больше единицы: . В этом случае, используя асимптотику функций Бесселя

,

можно получить приближенную аналитическую оценку выражения для :

(44б)

Условия (33а) применимости модифицированного метода связанных волн, являющиеся следствием процедуры усреднения по быстрым осцилляциям на периоде структуры а, означают, что . Отсюда сразу получается оценка параметра малости в МТСВ для длин волн , малых по сравнению с периодом структуры "а"

. (45)

Эта оценка указывает на применимость (40) модифицированной теории связанных волн в коротковолновой области, когда . Последнее утверждение, проиллюстрированное мною на примере гармонической модуляции , справедливо и в случае произвольной плавной модуляции. Действительно, для одномерных структур с большими периодами , или , на каждом периоде структуры может укладываться большое число длин волн . Тогда, если изменение на периоде структуры а равно , то на малой длине волны изменение диэлектрической проницаемости в раз меньше, т.е. равно . именно эта величина является малым параметром (см. (45)) для приближенных решений (37) геометрооптического вида. поэтому, чем выше номер брэгговского резонанса, тем лучше выполняется условие (45) и тем ближе приближенные геометрооптические решения к истинным.

Таким образом, видно, что модифицированная теория связанных волн (МТСВ) обладает более широкой областью применимости, чем обычная теория связанных волн Когельника (ТСВ), и включает в себя последнюю как частный случай.

Из других преимуществ МТСВ отметим также удобство ее использования для слоистых периодических сред со ступенчатым законом изменения . В этом случае [22], непосредственное решение системы связанных уравнений (34) при и , имеющими вид (41), приводит к известным точным выражениям для коэффициентов отражения от ряда известных одномерных периодических структур [14]. Так, для двухслойной периодической структуры, когда имеет постоянное значение на части периода длиной , и равно на другой части периода длиной , формулы (41) дают (поскольку в пределах каждого слоя, то вклад в только от точек разрыва функции ):

,

,

где нужно одновременно использовать либо верхние, либо нижние знаки. В такой среде отличие от , приводящее к сдвигу центра брэгговского резонанса (26), пропорционально :

,

где , а постоянные связи отличны от нуля для всех номеров п брэгговских резонансов. В случае равных оптических толщин и точного брэгговского резонанса (, ) имеем: и . Тогда для нечетных брэгговских резонансов (, р = 1,2,.) все одинаковы и равны , a постоянные связи для четных брэгговских резонансов (, р =1,2,.) обращаются в нуль [7]. В результате коэффициенты отражения по амплитуде от слоя такой структуры толщиной (см. рис.2), рассчитанные по данной теории МТСВ, совпадают с точными формулами Берна-Вольфа [14]:

при ,

при ,

первое выражение для соответствует отражению волн от системы четвертьволновых слоев с равными оптическими толщинами, а второе — от системы полуволновых слоев. В последнее не входят ни толщина структуры , ни свойства периодических слоев. Связано это с тем, что помещение между ограничивающими однородными средами с и любого числа полуволн слоев не меняет коэффициента отражения структуры [14,17]. Для других слоистых систем приближенные аналитические формулы МТСВ позволяют достаточно просто проводить численные расчеты.

полученные в МТСВ формулы позволяют рассчитывать коэффициенты отражения и прохождения волн для периодических сред с любым сложным законом изменения на периоде структуры вещественной и мнимой частей диэлектрической проницаемости .

1.13 Оптика несинусоидальных волн

влияние нелокальной дисперсии на распространение и отражение электромагнитных волн в слоистых и нестационарных средах удобно рассматривать с помощью модельных зависимостей диэлектрической проницаемости среды от координат и времени [8]. Говоря об одномерных задачах для слоистых сред, целесообразно отметить несколько моделей , допускающих точные аналитические решения уравнений Максвелла. Эти же зависимости образуют точно решаемые модели для волнового уравнения в среде с переменной скоростью распространения волны ~. один из первых таких профилей был найден Рэлеем в 1880 г. при решении акустической задачи о структуре звукового поля, распространяющегося со скоростью, зависящей от координаты [24].

(48)

здесь характерная длина L — единственный свободный параметр модели. точное решение существует и для более пологого профиля [25]

(49)

более сложное распределение, содержащее четыре свободных параметра, образует слой Эпштейна [28]:

, (50)

.

Пространственно-временные огибающие электрической и магнитной компонент волнового поля и , распространяющегося в слоистой или нестационарной среде, испытывают сложную деформацию. Так, при падении волны с гармоническими огибающими и на поверхность слоистой среды форма пространственной огибающей внутри среды становится несинусоидальной и изменяется в процессе распространения. одновременно искажается и пространственная огибающая , форма которой может существенно отличаться от огибающей . Темпы такой деформации определяются нелокальной дисперсией среды. аналогичные эффекты развиваются и для временных огибающих и в нестационарной среде.

1.14 Нелокальная дисперсия слоистых сред. метод фазовой координаты

В этом разделе строится математическая схема описания крупномасштабных дисперсионных эффектов в слоистых средах. рассмотрим распространение плоской волны в неоднородном немагнитном диэлектрике, диэлектрическая проницаемость которого зависит от координаты [8]. чтобы выделить эффекты, связанные с неоднородностью , предположим, что в рассматриваемом диапазоне частот поглощение волн и материальная дисперсия среды несущественны. В этом случае зависимость в области прозрачности () можно представить в виде

, . (51)

здесь — показатель преломления среды на границе , безразмерная функция описывает пространственное распределение диэлектрической проницаемости.

Уравнения Максвелла для линейно поляризованной волны с компонентами и , движущейся в среде (50) в направлении z, имеют вид

, (52)

. (53)

Функция пока остается неизвестной. В отличие от указанных точно решаемых моделей (48) — (50) новые аналитические решения системы (52), (53) будут найдены здесь с помощью специального преобразования в пространстве фазовых траекторий. такой подход приводит к ряду новых точно решаемых моделей и позволяет наглядно представить сильные дисперсионные эффекты [4], обусловленные профилем диэлектрической проницаемости. Выражая компоненты волнового поля и через некоторую вспомогательную функцию , можно свести систему уравнений первого порядка (52), (53) к одному уравнению второго порядка для функции . Такое преобразование можно выполнить двумя разными способами:

) вспомогательная функция выбирается так, чтобы уравнение (52) обращалось в тождество, а сама функция определялась уравнением (53);

) функция , обращающая в тождество уравнение (53), определяется из уравнения (51).

Решения, построенные этими способами, целесообразно рассматривать отдельно [8].

.Выразим компоненты волнового поля через вектор-потенциал :

, . (54)

В рассматриваемой геометрии задачи (51), (52) вектор-потенциал имеет лишь одну компоненту ; выражая компоненту через нормировочную константу и безразмерную функцию , можно записать уравнение (52), определяющее функцию , в виде

. (55)

неизвестная функция определяется, как видно из (55), волновым уравнением с зависящей от координаты скоростью распространения волны.

Для решения уравнения (55) удобно ввести новые функции F и Q и новую переменную [29]:

; ; . (56)

Уравнение (54) при этом преобразуется к виду

. (57)

Функция до сих пор остается неизвестной.

Рассмотрим, например, простое частное решение уравнения (57), соответствующее функции Q, определяемой условиями

. (58)

Здесь — некоторая постоянная, которая будет определена ниже. Предполагая гармоническую зависимость поля F от времени, можно переписать уравнение (56) с учетом (57) в виде

. (59)

Отметим, что координата (55) пропорциональна длине фазового пути волны в неоднородной среде: . Уравнение (59) описывает синусоидальную волну, бегущую в направлении :

F ~ .

Подставляя это выражение для функции F в (58), можно представить безразмерный вектор-потенциал в виде бегущей волны с пространственно-модулированной амплитудой:

, ; ;

; . (60)

Фактор N (59) при аналогичен показателю преломления для волн, распространяющихся в волноводе с частотой отсечки . чтобы вычислить из (60) компоненты электромагнитного поля и , нужно найти из (58) функцию , определить параметр и выразить переменную через координату z.

Профиль , допускающий здесь и — свободные параметры модели (61), имеющие смысл характерных пространственных масштабов неоднородности диэлектрической проницаемости. Если знаки и совпадают, то зависимости монотонны; при разных знаках и возникают экстремумы функций :

; ; . (62)

В предельном случае функция (61) соответствует профилю (48), точное решение для которого указано Рэлеем [24]. Подставив (60) в (57), получим выражение для параметра :

. (63)

В зависимости от соотношения характерных длин и и знаков и параметр может принимать положительное, отрицательное или нулевое значение. В каждом из этих случаев переменная (56) представляется различными формулами. Так, например,

, (64)

, , (65)

, . (66)

В пределе переменная имеет вид

.

случай рассмотрен ниже. Теперь все величины, определяющие вектор-потенциал (60), выражены через параметры неоднородности.

Полученные результаты позволяют выявить эффект нелокальной дисперсии неоднородного диэлектрика (61). Этот эффект, определяемый параметрами профиля , , , и , описывается фактором N (60). В случае среда характеризуется нормальной дисперсией

, . (67)

В противоположном случае неоднородность диэлектрической проницаемости приводит к аномальной дисперсии

, . (68)

Следует подчеркнуть, что найденные характерные частоты и обусловлены только параметрами неоднородности и не связаны с материальной дисперсией среды.

таким образом, решение уравнений (52), (53) с помощью первого способа позволило представить поле в неоднородном диэлектрике в виде модулированных бегущих волн. прежде чем обсуждать свойства таких полей, целесообразно остановиться на других точно решаемых профилях неоднородности в диэлектриках, описываемых в рамках второго способа.

.В отличие от представления (54) можно свести систему (52), (53) к одному уравнению, введя неизвестную функцию формулами:

, . (69)

Здесь — нормировочная константа. При подстановке (69) в систему (52), (53) уравнение (54) обращается в тождество, а функция определяется уравнением, следующим из (52):

. (70)

Уравнение (70) решается по той же схеме, что и уравнение (55). Вводим новые функции и Q и используем переменную (56):

, . (71)

Уравнение (70) с учетом (71) преобразуется к виду

. (72)

рассмотрим профили неоднородности, удовлетворяющие условию

, (73)

где — некоторая постоянная. В зависимости от знака этой постоянной распределения , описываемые уравнением (73), могут быть представлены в форме

, , (74)

, . (75)

постоянные М и определяются параметрами профиля . Случай рассмотрен отдельно. При выполнении условия (73) функция (72) описывается в переменных , t бегущей волной, а решение уравнения (70) имеет вид пространственно модулированной волны

. (76)

Волновое число q в (76) определено в (60); однако профиль , параметр и переменную нужно вычислить заново. Такое рассмотрение удобно провести отдельно для случаев и . Введем характерный масштаб неоднородности

(77)

Случай 1: . Выражая переменную из (74) и сравнивая с определением (56), находим уравнение для профиля :

, . (78)

Знаки "+" и "-" в правой части (78) соответствуют возрастающей и убывающей зависимости . Решая это уравнение со знаком "+", можно исследовать рост безразмерной функции U от значения на границе среды до максимального значения :

. (79)

Расстояние от границы до точки максимума составляет :

. (80)

Профиль неоднородности U после максимума определяется падающей ветвью решения уравнения (77), соответствующей знаку "-" в правой части этого уравнения:

. (81)

Это решение описывает уменьшение U от до .

Зависимости (74) и (81) характеризуют семейство профилей с двумя свободными параметрами М и L. В отличие от явного выражения для функции (61), полученного в рамках первого способа, профиль (79) выражен с помощью обратной функции . Эта функция непрерывна вместе с первой производной в точке максимума , где касаются обе ветви. Существенно, что эта непрерывность сохраняется, даже если значения параметров L и , характеризующие ветви (79) и (81), различны; при этом случаи и соответствуют симметричному и асимметричному относительно максимума профилям .

случай 2: , , . Анализ выполняется по той же схеме, что и в случае . Пользуясь соотношением (75), можно записать дифференциальное уравнение для :

. (82)

Падающая и возрастающая ветви решения уравнения (82), определяющие уменьшение функции U от точки до точки минимума и последующий рост U от минимума до значения , описываются решениями уравнения (82):

,

. (83)

Найдем теперь длину фазового пути (56) для профилей (80) и (83). поскольку зависимость задана с помощью обратных функций , удобно использовать дифференциальное выражение для в виде . Подставляя сюда

. (84)

Вычисляя интеграл (84), получаем

. (85)

Длина фазового пути для профиля (83) находится аналогично:

. (86)

таким образом, поле в неоднородных диэлектриках, характеризуемых профилями , заданными с помощью обратных функций (80) и (83), также представляется в виде бегущей волны (76) в пространстве фазовых траекторий. Нелокальная дисперсия таких сред, обусловленная неоднородностью , описывается параметром N (60). нормальная и аномальная дисперсии определяются формулами (67) и (68) с характерными частотами, соответствующими профилям (80) и (83):

,

. (87)

Несмотря на различие формул, описывающих модели неоднородного диэлектрика (61) и (79), можно отметить некоторые общие свойства этих моделей [8].

.При определении волнового числа (60) не учитывается локальная частотная дисперсия показателя преломления . Изменение волнового числа в полосе частот под действием этого эффекта характеризуется отношением

.

вдали от резонансных частот это отношение мало: . В то же время нелокальная дисперсия, характеризуемая частотами , может существенно изменить не только величину q, но и сам характер распространения, например, для частот .

. При анализе моделей (61) и (79) предполагалось, что масштабы распределения неоднородности L существенно меньше характерных длин поглощения волн; при этом поглощение не учитывалось, а значения L были действительные. Однако эти же модели легко обобщаются и на случай поглощающего диэлектрика с неоднородным распределением комплексной диэлектрической проницаемости. В этом случае параметры и — комплексные величины: .

. Бегущие волны (60) описывают лишь одно из решений уравнения (59) — прямую волну. второе решение этого уравнения (обратная волна) соответствует замене в решении (60) множителя на .

Таким образом, комбинация моделей (61) — (79) позволяет построить широкие классы точно решаемых моделей неоднородных диэлектриков с несинусоидальными периодическими распределениями . В рамках этих моделей можно представить аналитически вклад разрывов как показателя преломления, так и его первой и второй производных в формирование отраженной и прошедшей волн.

1.15 Решение связанных волновых уравнений методом последовательных приближений

Рассмотрим среду, в которой скорость распространения волны является периодической функцией какой-либо одной пространственной координаты (например, х):

, (28)

где ( — пространственный период решетки).

Считаем, что неоднородность мала, . В этом случае уравнение для волны, распространяющейся вдоль оси х, можно записать в виде:

(29)

предположим, что зависимость от времени — гармоническая: .

Для амплитуды А имеем следующее уравнение:

, (30)

Используя метод последовательных приближений по малому параметру , ищем решение в виде

, или (31)

где , . Запись частоты в виде суммы невозмущенного значения и поправки первого приближения принята из-за того, что в периодически-неоднородной среде существует характерный внутренний масштаб ; это может привести к появлению дисперсии.

Подставим (31) в (30); собирая отдельно члены порядка и , получим уравнения:

, (32)

(33)

С помощью решения уравнения (32) нулевого приближения:

правая часть (33) преобразуется к виду

(34)

Важно заметить, что при анализе уравнения первого приближения (33) с правой частью (34) мы сталкиваемся с двумя физически различными ситуациями [1].

Если , решение имеет вид:

(35)

В формуле (35) наряду с осциллирующими членами имеется слагаемое, модуль которого неограниченно растет с увеличением х. Поскольку мы интересуемся волнами с ограниченной амплитудой, это слагаемое должно быть обращено в нуль, что возможно только при . Таким образом, при поправка к частоте в неоднородной среде отсутствует и .

Если же , правая часть (34) приводится к форме:

(36)

Выражение (36) также содержит "резонансные" члены, пропорциональные , которые приводят к появлению в решении слагаемых, растущих линейно с увеличением координаты х. чтобы решение было ограниченным, нужно потребовать

,

Эта система линейных (относительно ) уравнений имеет нетривиальное решение при условии

рисунок 2 − Разрывная кривая дисперсии для волны, распространяющейся в периодической структуре

, (37)

Итак, при первое приближение дает поправку к частоте [1] и:

(38)

Зависимость изображена на Рис.3. Видно, что дисперсионная кривая испытывает разрыв при . Появляется запрещенная полоса часто шириной ; волны с частотами, лежащими внутри полосы , в системе быстро затухают.

Соотношение можно переписать как (длина волны, а — пространственный период неоднородности); его часто называют условием брэгговского отражения волны от периодической структуры.

Это означает, что при т.е. в запрещенной полосе частот, бегущая волна эффективно отражается от неоднородностей среды, и ее энергия передается волне, бегущей в обратном направлении (этот отбор энергии можно называть "затуханием"). В свою очередь встречная волна также переотражается, возвращая часть энергии исходной волне. Иными словами, вблизи области пространственного резонанса две волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях оси х, сильно связаны друг с другом. Результатом такого взаимодействия является сдвиг частоты (38); напомним, что аналогичное явление в теории колебаний имеет место дня двух связанных колебательных контуров.

2. Генерация второй гармоники в нелинейных периодических структурах

В этой главе будет рассмотрена генерация второй гармоники в среде, функция линейного отклика которой меняется в зависимости от координаты по периодическому закону. Для простоты расчёта рассматривается одномерный случай. Волна рассматривается как плоская, линейно поляризованная и монохроматическая, притом поляризация её во время процесса не меняется.

Также воспользуемся приближением заданного поля, то есть обратную реакцию второй гармоники будем считать бесконечно малой. В виду того, что размеры неоднородности соизмеримы с длиной волны, метод медленно меняющихся амплитуд применять нельзя. Таким образом, говорить о равенстве как об условии фазового согласования в данном случае заведомо неверно. Таким образом, к решению волнового уравнения в данной ситуации требуется принципиально иной подход.

2.1 Вывод волнового уравнения для периодических сред с квадратичной нелинейностью. Корректность уравнения (1) первой главы для одномерной задачи

Прежде всего, положим, что тензор диэлектрической проницаемости среды приведён к диагональному виду (Для удобства нумерацию формул начнём с единицы).

(1)

Положение (1) значительно упрощает расчёты. Теперь рассмотрим уравнения Максвелла для немагнитной среды:

(2)

здесь: (3). Вектор нелинейной поляризации, также как и первое слагаемое (3), мы разложим по базису, но для начала из системы (2) получим волновое уравнение:

(3)

Укажем, что компоненты тензоров линейного и нелинейного откликов среды не зависят от времени, и в дальнейшем под компонентами и будем понимать непосредственно спектральные компоненты и .

Итак, компоненты вектора нелинейной поляризации имеют вид:

(4) и

(5).

Вектор, представленный компонентами (4), соответствует детектированию электростатического поля и в данной работе рассмотрен не будет. Генерации второй гармоники соответствует вектор с компонентами (5). чтобы не вводить в заблуждения, оговорим сразу, что частоты под знаками диэлектрических проницаемостей в (4) и в (5) независимыми переменными не являются. Частота в скобках показывает, какой гармонике соответствует вектор напряженности. Волновое уравнение (3) преобразуем к виду, подобному уравнению Гельмгольца:

(6)

Уравнение (6) теперь нужно привести к одномерному случаю. Для этого рассмотрим первое слагаемое в левой части уравнения (6):

(7)

Уравнение (7) разбиваем по компонентам в Декартовых координатах:

следующие шаги таковы: положим, что из всех компонент вектора напряженности существует только . Теперь что касается откликов среды: линейный выберем таким образом:

(7).

А нелинейный:

(9),

где , , , . Матрица нелинейной восприимчивости (9) соответствует кристаллу ниобата лития LiNbO3.

Причина такого выбора очевидна: во первых, кристалл ниобата лития обладает ненулевой компонентой ; во вторых, в лабораторных условиях чаще всего выращивают с регулярной доменной структурой именно этот сегнетоэлектрик.

Дальнейшие преобразования очевидны. В следующих уравнениях координатные индексы будут опущены. таким образом, имеем:

(10)

Верхнее уравнение системы (10) соответствует волне первой гармоники.

В приближении заданного поля правая часть нижнего уравнения системы (10) рассматривается как вынуждающая сила. Оно решается как неоднородное, в котором является решением верхнего уравнения.

В свете приведённых выше выкладок, корректность уравнения (1) из первой главы очевидна.

.1 Решение волнового уравнения для волны, бегущей в одну сторону

Для верхнего уравнения системы (10) построим систему Флоке — Блоха:

(11) и

(12)

Правую часть нижнего уравнения системы (10) приведём к следующему виду:

(13)

Само же уравнение решим методом интегрального уравнения:

(14)

(13)

Обозначим:

(14)

Рассмотрим интеграл в (13): величину назовём волновой расстройкой. позже мы увидим, что равенство и есть условие фазового синхронизма. интересно следующее:

(15)

Анализ (15) сводится к рассмотрению двух случаев:

) и 2) . Первый случай является ключевым, и мы в этом убедимся при построении графика функции . действительно, нули функции (15) мы получаем при , где . однако чтобы получить ненулевые значения (15) мы можем выбирать дробные числа. посему назовём число порядком волновой расстройки. График же будет построен следующим образом: величина будет служить параметром и на координатных осях отмечаться не будет, однако с его помощью мы получим значения реальной и мнимой частей в (15).

(16)

Для (16) построим таблицу значений.

Таблица 1− величина вещественной и мнимой части напряжённости электрического поля электромагнитной волны на частоте 2-й гармоники в зависимости от величины a∆µ

рисунок 3 иллюстрирует нам зависимость мнимой части (15) от действительной в первом случае. Цифры над точками соответствуют порядку волновой расстройки. таким образом, отрезок OA на рисунке 3 соответствует условию фазового согласования.

(17)

второй же случай рассматривать мы не будем в виду того, что он тривиален и в данный момент интереса не представляет. однако его краткую характеристику дать следует.

рисунок 3 − Зависимость мнимой части выражения (15) от действительной

Дело в том, что при такого результата, как в выражениях (16) уже не будет. В данном случае при (15) обращается в 0. Очевидно, что графики (15), аналогичные графику на рисунке 3, выродятся в эллипсы, соприкасающиеся в точке O. При выполнении условия (17) такие слагаемые просто обратятся о 0. следовательно:

(18)

И, опираясь на параграф 1.2, имеем:

(19)

теперь нужно выбрать конкретный профиль . Положим:

(20)

Интерес представляют две задачи:

) (малые отклонения).

) и велики, и

2.2 Решение задачи с конкретным профилем линейного отклика среды

рассмотрим первую задачу. Знаем, что порядок разницы между величинами и таков, что имеет место Борновское приближение, рассмотренное в параграфе 1.3 теперь нужно всего лишь преобразовать условие (17), используя формулы данного приближения, учитывая (20). Таким образом:

(21)

Очевидно, что при условие (21) выражается в классический скалярный oee-синхронизм.

Также мы можем написать приближенное уравнение пространственной части волны второй гармоники.

(22) и

(23)

Сумма (22) и (23), умноженная на , даёт уравнение волны второй гармоники в приближениях, о которых говорится в данной главе

Заключение

В настоящей работе была решена одномерная задача о генерации второй гармоники в среде, линейный отклик которой изменяется в зависимости от координаты по периодическому закону.

В случае произвольного профиля диэлектрической проницаемости уравнение пространственной части волны было получено в конечной форме в виде ряда. При малой амплитуде модуляции диэлектрической проницаемости можно получить приближенную аналитическую форму (Римановское приближение). важный результат заключается в том, что условие фазового согласования имеет несколько иную форму, нежели классическое (для однородных анизотропных сред). таким образом, мы получаем новую проблему: дело в том, что в классическом случае, на практике возможно вычислить угол синхронизма для одноосных кристаллов.

В нашем же случае этого недостаточно из-за дополнительных слагаемых в уравнении (21).

Можно предположить, что эти слагаемые малы по сравнению с и , но далеко не для всех сред это возможно, потому что предполагается, что мы работаем с частотами, далекими от полос спектра поглощения, и в силу этого величина может вносить вклад, обуславливающий потери мощности второй гармоники на неоднородности.

В данном случае ещё можно применять классическое условие фазового синхронизма. однако при достаточно большой амплитуде модуляции диэлектрической проницаемости это невозможно. В этой ситуации уравнение (21) работать не будет, поэтому требуется иной подход к решению задачи. здесь также рождаются новые идеи, и математическое содержание их мы кратко изложим. Пусть дано уравнение (уравнение Матье):

(24)

При больших и уравнение для можно написать в следующей форме:

(25)

(см. Бейтмен. Эрдейи "Высшие трансцендентные Функции. Т3);

Естественно, что такая задача решается только численно. Уравнение (2) представляет собой асимптотические формы при больших параметрах. Полагаем, что при осуществлении численного расчёта будет использоваться разложение обеих частей (2) в ряды. порядок приближения надо будет выбирать, исходя из реальных условий.

Также в данной задаче мы положили, что вопреки периодичности , квадратичная восприимчивость постоянна. Предпосылки предположения таковы:

)Невозможность определить профиль (если таковой вообще существует).

)На вид условия фазового согласования в данном приближении он влиять не может, ибо понимаем, что оно получается при решении задачи с помощью функции Грина, а принадлежит неоднородной части нижнего уравнения системы (10).

В дальнейшем число упрощений нужно будет постепенно сокращать, дабы понять, какие еще особенности поведения волн и нелинейных процессов даёт непостоянство линейного отклика среды.

список использованных источников

1. Виноградов, Сухоруков, Руденко. Теория волн, М., 1981 г., 470 с.

. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Нелинейная оптика, М., 1982 г., 352 с.

. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах, М., мир, 1987 г., 616 с.

. Бломберген Н. Нелинейная оптика, М., мир, 1966 г., 424 с.

. Андреев А.В., Балакин А.В., Буше Д., и др. Квантовая электроника, 28, №1, июль 1999 г., с. 75-80.

. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики, М., мир, 1989., 278 с.

. Карпов С.Ю., Столяров С.Н. Успехи физических наук, т. 163, №1, январь 1993 г., с. 63-89.

. Шварцбург А.Б. Успехи физических наук, т.170, №12, декабрь 2000 г., с. 1297-1324.

. Zaporozhchenko R. G. Оптика и спектроскопия, 94, №6, 2003 г., с. 906-909.

. Бриллюэн Л., Пародии М. Распространение волн в периодических структурах, М., ИЛ, 1959 г.

. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М., Наука, 1974 г.

. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, ч. 2, М., ГИФМЛ, 1963 г., гл. 19.

. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн, М., Наука, 1984 г., гл. 11.

. Борн М., Вольф Э. основы оптики, М., Наука, 1973 г.

. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функции Матье, М., иностранная литература, 1953 г.

. Столяров С.Н. Соответствие решений в приближении сильной и слабой связи для волн в одномерных периодических структурах, Кр. сообщ. Физ., ФИАН (КСФ), №11, 1987 г., с. 12-14.

. Бреховский Л.М. Волны в слоистых средах, М., Наука, 1973 г.

. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. основы теории дифракции, М., Наука, гл. 4, 1982 г.

. Беляков В.А. Дифракционная оптика периодических сред сложной структуры, М., Наука, 1988 г.

. Столяров С.Н. Брегговское преобразование волн в одномерных периодических структурах с учетом более высоких порядков теории возмущений // Физические основы твердотельных устройств обработки информации, М., МФТИ, 1989 г.

21. Kogelnik H. Coupled wave theory for thick hologram grating // BSTJ, v.48, №9, 1969 г., с. 2909-2947.

22. Мартынов Н.Н., Столяров С.Н. Теория распространения волн в периодических структурах // КЭ, т.5, вып. 8, 1978 г., с. 1853-1855.

. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений, М., Мир, 1984 г.

. Forsterling K. Ann. Phys. — Leipzig. т.11, №1, 1931 г.

. Столяров С.Н. Модификация метода связанных волн Когельника // Импульсные лазеры и их применение, М., МФТИ, 1988 г., с. 120-122.

. Мартынов Н.Н. Кандидатская диссертация "К теории распространения электромагнитных волн в периодических диэлектрических структурах", М., МФТИ, 1979 г.

27. Epstein L. J. X Opt. Soc. Am., т.42, №806, 1952г.

. Shvartsburg A., Petite G., Auby N.J. Opt. Soc. Am., т.16, № 966, 1999 г.

Учебная работа. Теоретическое и численное исследование распространения электромагнитных волн в пространственно-периодических нелинейных средах