Учебная работа. Соотношения синусоидальных напряжений и токов в цепи с последовательным соединением элементов

Соотношения синусоидальных напряжений и токов в цепи с последовательным соединением элементов

СООТНОШЕНИЯ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С последовательным СОЕДИНЕНИЕМ
ЭЛЕМЕНТОВ

1.
Проводимость цепи

К цепи
подведено напряжение .

По 2 закону
Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:

Комплекс
действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:

Построим
векторную диаграмму для этой схемы

Из векторной
диаграммы (D 0АВ):

;

Отсюда:  – закон – полное сопротивление цепи.

Если
сопротивлений много, то .

Аналогично
можно записать из исходного уравнения:

,

где  – реактивное сопротивление цепи.

D
0АВ – треугольник напряжений:

Разделив
каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:

Угол j представляет собой угол
сдвига фаз между током и напряжением:

.

Активные,
реактивные и полные проводимости цепи

 – комплексная проводимость цепи.

,

где  – активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).

 – реактивная проводимость цепи.

При X=XL — XC > 0 B > 0,

а при X=XL — XC < 0 B < 0.

С учетом
проводимостей закон

,

где Ia – активная составляющая
тока I;

Ip – реактивная составляющая
тока I.

Векторная
диаграмма имеет вид:

Треугольник
проводимостей:

.

2. законы
Кирхгофа для цепей синусоидального тока

1-й законили
геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.

Для
действующих значений: ;

для
мгновенных значений: .

2-й закон
Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда
мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической
сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:

.

Сумма
комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме
комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:

.

3. Энергия
и мощность в цепи синусоидального тока с идеальными R, L, C элементами

В цепи
постоянного тока мощность определялась выражением .

рассмотрим
цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, C элементов.

Запишем
подведенное напряжение:  и ток .

. При yi=0 yu=j.

Если XL >XC, то j > 0 и наоборот.

Для
мгновенных значений справедливо выражение:

.

отдельно
здесь запишем: .

.

Результат:  – это выражение для мгновенной мощности.

Энергия,
которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:

.

Но , поэтому .

 – коэффициент мощности.

Из
треугольника напряжений , поэтому

 активная мощность.

Рассмотрим
цепь с активным элементом, т.е. j = 0.

.

Построим
график этой функции:

Мощность
больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь
и здесь тратится. Что это за энергия?:

 – это энергия тепловая.

Рассмотрим
цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.

.

Но и первое и
второе выражения равны нулю, т.е. среднее мгновенной мощности:

За период
мощность дважды меняет знак.

Положительное
значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь.
Отрицательное возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не
потребляет.

Найдем
 – это выражение для энергии магнитного поля.

здесь мы
сделали замену пределов интеграла: при t=0 i=0; при t=T/4 i=Im.

таким
образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом,
преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток
растет по абсолютной величине.

В этот момент
энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.

При
уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается
источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит
непрерывный обмен энергиями.

рассмотрим
цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.

Из общего
выражения для мгновенной мощности:

. Здесь ток опережает напряжение. Тот же
рисунок, но ток и напряжение поменяли местами

 – это энергия электрического поля.

Таким
образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы,
аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется
энергия электрического поля.

В реальной
электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое
преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и
потребителями.

Полная,
активная и реактивная мощности

– треугольник
напряжений.

Умножим
каждую сторону треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.

 – активная мощность, которая преобразуется в
тепло или механическую работу [Вт].

 – реактивная мощность, которая затрачивается
на создание магнитных и электрических полей, а затем возвращается к источнику,
[вар].

 – полная мощность [ВА].

Мощность в
символической форме

Пусть ;

.

В комплексной
форме эти выражения:

; ; .

Комплексно
сопряженное

Запишем
выражение

.

 – комплекс полной мощности.

Вещественная
часть этого комплекса представляет активную мощность, а мнимая часть – реактивную
мощность.

4. Уравнение
баланса мощностей

В
электрической цепи сумма активных мощностей, отдаваемых источником, равна сумме
активных мощностей, потребляемых приемниками.

Аналогично
утверждение и для реактивных мощностей.

 – для активных мощностей (реальная часть
комплекса);

 – для реактивных мощностей (мнимая часть
комплекса).

Учебная работа. Соотношения синусоидальных напряжений и токов в цепи с последовательным соединением элементов