Загрузка...
Сложные виды нагружения
1. Сложное сопротивление
1.1Расчет статически определимой рамы
Постановка задачи:
В данной работе для статически определимой плоской рамы, изображённой на рисунке 1, нужно:
. Построить эпюры продольной силы N, поперечной силы Q, изгибающего момента M.
. определить перемещение системы в точках A, B и C методом Мора-Верещагина;
3. Подобрать сечение для данной системы с учётом условий прочности.
Дано:
Рисунок 1 — Плоская рама
Плоской рамой называется стержневая система, элементы которой жестко или шарнирно соединены между собой, нагруженная в своей плоскости.
Вертикально (или под наклоном) расположенные стержни рамы называются стойками, а горизонтальные — ригелями. Жесткость узлов устраняет возможность взаимного поворота скрепленных стержней, то есть в узловой точке углы между их осями остаются неизменными.
1.Определяем опорные реакции.
Для вычисления опорных реакций воспользуемся уравнениями статики:
Проверка:
.
Рама имеет 5 участков нагружение. Применяя метод сечений на каждом участке, находим дополнительные силы N, поперечные силы Q, моменты изгибающие M.
Участок I:
рисунок 2 — Участок I
Длина участка нагружения изменяется в пределах.
Определяем силы:
при
при
Участок II:
рисунок 3 — Участок II
Длина участка нагружения изменяется в пределах.
Определяем силы:
при
при
Участок III:
рисунок 4 — Участок III
Длина участка нагружения изменяется в пределах.
Определяем силы:
при
при
при
при
Участок IV:
рисунок 5 — Участок IV
Участок V:
Рисунок 6 — Участок V
Длина участка нагружения изменяется в пределах.
Определяем силы:
при
при
Эпюры Q, M и N представлены на рисунке 7:
. далее определим перемещение системы в точках A, B и C методом Мора — Верещагина. Данный метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных, так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки. метод осуществляется путём перемножения грузовой эпюры, когда к балке приложена любая произвольная нагрузка, на эпюру в единичном состоянии, когда в определяемой точке приложена сосредоточенная сила .
рисунок 7 — Эпюры N, Q, M
Рассчитаем прогиб в точке C, приложив при этом горизонтальную единичную сосредоточенную силу (рисунок 8):
Рисунок 8 — Приложение в точку C системы единичной силы
Построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в точку C, как указано на рисунке 9:
Рисунок 9 — Эпюра изгибающих моментов
Эпюра изгибающих моментов в грузовом состоянии изображена на рисунке 7 — в. Перемножим эпюру в первом единичном состоянии на грузовую эпюру, воспользовавшись выведенной формулой для перемножения эпюр двух прямоугольных треугольников и формулой для перемножения эпюр двух трапеций определим перемещение в точке С.
Отсюда получим, что перемещение в точке C равно:
Рассчитаем перемещение в точке B, приложив при этом вертикальную единичную сосредоточенную силу (рисунок 10):
Рисунок 10 — Приложение в точку B системы единичной силы
Построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в точку B, как указано на рисунке 10:
Рисунок 11 — Эпюра изгибающих моментов
Перемножим эпюру во втором единичном состоянии на грузовую эпюру, воспользовавшись формулой для перемножения эпюр двух прямоугольных треугольников, формулой для перемножения эпюр двух трапеций и формулой для перемножения эпюры параболы на эпюру прямоугольного треугольника, получим:
Отсюда получим, что перемещение в точке B равно:
Рассчитаем угловое перемещение в точке A, приложив при этом единичный момент сил (рисунок 12):
Рисунок 12 — Приложение в точку A единичного момента сил
Построим эпюру изгибающих моментов от единичного момента сил, приложенного в точку A, как указано на рисунке 12:
рисунок 13 — Эпюра изгибающих моментов
Перемножим эпюру в третьем единичном состоянии на грузовую.
Отсюда получим, что перемещение в точке B равно:
3. Подберём сечение для данной системы с учётом условий прочности, если :
Максимальный изгибающий момент, действующий на систему равен:
Из условия прочности выразим момент сопротивления с учётом максимального изгибающего момента:
С учётом полученных данных подберём стальной двутавр. Согласно ГОСТ8239-89 выбираем двутавр № 36:
Рассчитаем максимальные напряжения с учётом осевого растяжения:
Перенапряжение:
Для двутавра № 36:
С учетом того, что получим:
Условие прочности соблюдается.
1.2 Косой изгиб
Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения. Косой изгиб есть сочетание двух прямых поперечных изгибов.
Постановка задачи:
Брус, с поперечным сечением, составленным из двух швеллеров, нагружен в двух плоскостях (рисунок 14).
. Подобрать поперечное сечение стержня, если ;
. построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.
Дано:
рисунок 14 — Заданная система и поперечное сечение
Решение:
) Опасное сечение находится в точке M, что видно из эпюр , построенных со сторон сжатого волокна. Для опасного сечения балки Значение изгибающих моментов взяты по абсолютному значению. наибольшие растягивающие напряжения возникают в 1 сечения, а численно равные сжимающие — в точке 3.
следовательно, условие прочности имеет вид:
где — момент сопротивления относительно главной оси инерции y;
рисунок 15 — Эпюры
— момент сопротивления относительно главной оси инерции z.
где — главный центральный момент инерции всего сечения;
— момент инерции сечения одного швеллера.
где — главный центральный момент инерции всего сечения;
— главный центральный момент инерции одного швеллера.
главный центральный момент инерции определяем по формуле:
Подставив формулу (41) в (40), получим:
В условие прочности входят два неизвестных момента сопротивления и . В нашем случае отношение этих характеристик равно 1,4.
Принимая указанное соотношение, получим:
Решив данное уравнение, определим :
Тогда
найденному моменту сопротивления соответствует швеллер № 20, для которого
Подсчитываем и для нашего сечения:
Тогда:
Условие прочности соблюдается, но есть недонапряжение:
Итак, останавливаем свой выбор на двух швеллерах № 20.
) Построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Найдем положение нулевой линии. Плоскость действия полного момента проходит через центр тяжести, 1 и 3 квадрат, так как в них вызывают напряжение одного знака. Предварительно найдем абсолютное
Следовательно, угол между осью z и плоскостью действия полного момента будет равен . Тогда:
следовательно, нулевая линия наклонена к оси y под углом . Угол откладывается от оси y против хода часовой стрелки. Для построения эпюры распределения нормальных напряжений по сторонам сечения нужно вычислить величину напряжений в точках 1, 2, 3, 4.
Эпюры распределения нормальных напряжений по сторонам сечения представлены на рисунке 16. рисунок 16 — Эпюры нормальных напряжений в опасном сечении 1.3 Внецентренное растяжение (сжатие) Внецентренным сжатием или растяжением называется такой вид сопротивления материалов, когда в поперечном сечении бруса одновременно действует продольная (сжимающая или растягивающая) сила и изгибающий момент. Постановка задачи: Для данного поперечного сечения, сжатого силой F, требуется: 1.найти положение нулевой линии. .Найти допускаемое 3.Для данной силы F построить эпюру . Дано:
Рисунок 17 — Поперечное сечение t = 4 см;
Сила приложена в точке В. Решение: В качестве вспомогательных осей принимаем оси и .
Обозначим центральные оси Y и Z. Определяем моменты инерции:
2. Находим положение нулевой линии. Квадраты главных радиусов инерции равны:
Координаты силы F в выбранной системе координат будут:
Определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях Y и Z:
. Найдем допускаемое Максимальные сжимающие напряжения будут в точке B (1,77t; -3t), а максимальные растягивающие напряжения в точке D (-2,23t; 3t). Определим величину напряжений в точках B и D, выразив их через силу F по формуле:
где F — внецентренно приложенная продольная сила; — координаты силы; y, z — координаты точки; А — площадь поперечного сечения; -главные радиусы инерции. Для точки B:
Для точки D:
Условие прочности на сжатие:
Условие прочности на растяжение:
окончательно принимаем F = 333,33 кН. . Для построения эпюры нормальных напряжений найдем численные значения напряжений в точках B и D, наиболее удаленных от нулевой линии:
Эпюра нормальных напряжений представлена на рисунке Рисунок 18 — Эпюра нормальных напряжений 2. Статически неопределимые стержневые системы 2.1 Расчет статически неопределенной плоской рамы Для заданной статически неопределимой плоской рамы требуется: . Установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему. . Построить эпюры моментов изгибающих от заданной нагрузки и от единичных сил. . Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, проверить их; решить систему и найти все неизвестные. . Построить расчетные эпюры моментов изгибающих, поперечных и продольных сил. 5. Сделать статическую и кинематическую проверки. Дано:
рисунок 22 — Заданная схема Решение: 1) Степень статической неопределимости равна двум, следовательно необходимо два дополнительных уравнения. ) Выбираем основную (статически определимую) систему.
рисунок 23 — Варианты систем Остановимся на первом примере: отбросим шарнирно — неподвижную опору и заменим двумя неизвестными силами. ) Система канонических уравнений метода сил примет вид:
4) Для нахождения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений построим грузовую и единичные эпюры моментов изгибающих. Для этого рассмотрим нагружение основной системы только заданными силами, только единичной силой, приложенной по направлению , и только единичной силой, приложенной по направлению . Грузовая и единичные эпюры моментов изгибающих системы представлены на рисунке 24. Рисунок 24 — Грузовая и единичные эпюры 5) путем перемножения эпюр по правилу Верещагина, находим коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.
) Подставляя найденные перемещения в систему канонических уравнений и решая ее, находим «лишние» неизвестные.
) Строим окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов
Умножим ординаты , на соответствующие значения , . 8) Строим эпюру поперечных сил.
2.2 Расчет плоско-пространственного бруса эпюра стержень растяжение брус Постановка задачи: ) Построить эпюру моментов изгибающих в вертикальной плоскости. ) построить эпюру моментов крутящих. ) Построить эпюру поперечной силы. Дано:
В общем случае действия сил в поперечных сечениях рамы возникают шесть внутренних силовых факторов: продольная сила N, крутящий момент, два изгибающих момента, две поперечные силы. Но в данном случае нагрузка перпендикулярна плоскости рамы, система является плоско-пространственной и все внутренние силовые факторы в плоскости рамы (продольная сила, горизонтальная поперечная сила и изгибающий момент) обращаются в нуль. Следовательно, в поперечных сечениях рамы могут возникать только крутящие моменты, изгибающие моменты в вертикальной плоскости и вертикальные поперечные силы. При выборе основной (статически определимой) системы надо использовать симметрию рамы и нагрузки и разрезать раму в середине элемента с длиной а (рисунок). Очевидно, что в этом сечении кососимметричные факторы (крутящий момент и поперечная сила) обращаются в нуль и отличным от нуля является только изгибающий момент вертикальной плоскости X. Далее строим эпюры моментов от заданной нагрузки. На рисунке одновременно изображены нагрузка, эпюра изгибающих моментов (заштрихована в вертикальном направлении линиями) и эпюра крутящих моментов (заштрихована волнистой линией). Составляем каноническое уравнение и находим перемещения по способу Верещагина, путем «перемножения» соответствующих эпюр:
Подставив полученные значения в каноническое уравнение, найдем :
Далее находим значения ординат эпюры изгибающих моментов: В точках приложения сил: В узлах:
В защемлении:
Кручение испытывают только участки длиной b:
. То есть перемещение действительно равно нулю. Заключение В данной курсовой работе при решении разных видов задач были использованы следующие теоретические знания по темам: напряжение; растяжение и сжатие; напряжённое и деформированное состояние; кручение; геометрические характеристики плоских сечений; прямой изгиб. В результате расчетов были получены необходимые результаты и построены эпюры. Библиографический список 1. Александров А.В. Сопротивление материалов. Издание третье, исправленное. — М.: Высшая школа, 2003. — 560 с. 2. Горшков А.Г., Трошин В.Н. Сопротивление материалов. Издание второе, исправленное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 736 с. . Костенко Н.А., Балясникова С.В. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 2004. — 429 с. 4. Подскребко М.Д. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 2007. — 797 с. 5. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов. Издание второе, исправленное и дополненное. — М.: Высшая школа, 2000. — 286 с.
Учебная работа. Сложные виды нагружения