Загрузка...
Переходные процессы в линейной электрической цепи
Введение
четырехполюсник переходный операторный сопротивление
Теория электрических цепей является базовым курсом, дающим основные понятия и аналитический аппарат, необходимый для количественного описания электромагнитных процессов в технических системах, предназначенных для производства, передачи и распределения электрической энергии, распространения, преобразования и обработки информации, — системах связи, автоматического управления, средствах информационной и вычислительной техники, в электромеханических и электротехнических устройствах.
Курс теории цепей базируется на основных физических понятиях об электрических и магнитных явлениях. В основе курса лежат также знания, полученные в различных областях математики — линейной алгебре, теории дифференциальных уравнений, преобразований Фурье и Лапласа, численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений.
В свою очередь, на базе теории электрических цепей строятся многие последующие дисциплины, связанные с анализом конкретных классов систем, в которых методы и приёмы теории цепей развиваются и получают проблемную ориентацию.
Прикладная направленность курса требует на ряду с изучением теории решения задач, предлагаемых в виде самостоятельных расчётных заданий и курсовых работ.
При выполнении курсовой работы перед студентом ставятся следующие задачи и цели:
Закрепление и более глубокое усвоение определенного объёма теоретических знаний, включающего следующие вопросы:
комплексные частотные характеристики электрических цепей;
расчёт переходной и импульсной характеристики цепи;
расчёт характеристических и первичных параметров четырехполюсников
Приобретение навыков, освоение методов расчёта и анализа электрических цепей;
Развитие самостоятельности и творческой инициативы при решении конкретных задач.
1.Расчёт комплексного коэффициента передачи по напряжению для четырёхполюсника
Рассчитываемая цепь
комплексная схема замещения
Входными зажимами буду считать зажимы 1 — 1, а выходными зажимами 2 — 2.
Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:
где — комплексное входное напряжение четырехполюсника;
— комплексное выходное напряжение;
— зададимся значением для входного напряжения.
комплексное выходное напряжение найдем из выражения:
где — комплексный второй ток;
— комплексное сопротивление резистора.
Определяем комплексные токи для данного четырехполюсника:
где — комплексное входное напряжение;
— комплексное входное сопротивление всей цепи четырехполюсника.
Токи в параллельных ветвях определяются следующим выражением:
где — комплексный первый ток;
— комплексное сопротивление резистора ;
— комплексное сопротивление резистора ;
— комплексное сопротивление катушки L.
— комплексное сопротивление резистора ;
Определяем комплексное входное сопротивление цепи:
После элементарных преобразований комплексное входное сопротивление цепи принимает вид:
где,,,, и — индивидуальные численные значения выбранные для своего варианта и соответственно равные 100 Ом, 120 Ом, 140 Ом, 0,3 мкФ, 2мГн, а j — комплексная постоянная численно равная .
Полученное выражение для комплексного входного сопротивления четырехполюсника подставляем в выражение для первого тока, тогда получим:
Полученное выражение для первого тока подставляем в выражение для второго тока и получаем следующее выражение:
Определяем комплексное выходное напряжение заданной цепи, подставляя выражение второго тока в выражение:
Подставляем полученную дробь (1.10) в выражение для получения комплексного коэффициента передачи по напряжению (1.1):
После сокращения выражение для комплексного коэффициента передачи принимает вид:
Где А=
комплексный коэффициент передачи по напряжению в показательной форме имеет вид:
где — модуль коэффициента передачи по напряжению, соответственно являющийся функцией АЧХ;
— аргумент коэффициента передачи по напряжению, соответственно являющийся функцией ФЧХ.
В результате аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ представляют собой соответственно:
Построение АЧХ
Построение ФЧХ
2. Расчет переходной характеристики цепи классическим методом
Рассчитываемая цепь до коммутации
параметры заданного четырёхполюсника:
Производим анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяю токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на ёмкости в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0_).
По законам коммутации:
независимые начальные условия равны:
Составляем систему дифференциальных уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую процесс в цепи после коммутации (t≥0):
Рассчитываемая цепь после коммутации
Направление обхода выбираем произвольно. U1=1B
ток представим в виде суммы установившегося и свободного режима цепи:
Определим ток в установившемся режиме цепи после коммутации. Так как на входе цепи включена ёмкость, то в установившемся режиме работы цепи все токи будут равны нулю.
Определим свободную составляющую тока для этого необходимо, получить характеристическое уравнение цепи после коммутации. Наиболее простой способ составления характеристического уравнения — метод входного сопротивления.
Запишем характеристическое уравнение заданного четырехполюсника:
Приравняем к нулю числитель выражения:
Подставив числовые значения параметров цепи в характеристическое уравнение, вычислим его корни:
Дискриминант получился , находим корни:
Корни характеристического уравнения комплексно — сопряженные, поэтому характер переходного процесса — колебательный, следовательно свободная составляющая тока будет иметь вид:
где , — постоянные интегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные условия. Запишем исходную систему уравнений для т=0:
Из независимых начальных условий ,
Из второго уравнения системы уравнений определяем :
Из третьего уравнения системы уравнений определяем :
Подставляем значений второго тока и третьего тока в первое уравнение системы уравнений и получаем Продифференцируем первое и второе уравнение системы уравнений (2.75) и запишем их для :
Из второго уравнения системы уравнений находим , подставляя известные значения конденсатора , значения сопротивлений и значения первого тока в нулевой момент времени (2.78):
Определим постоянные интегрирования и для определения свободной составляющей третьего тока. Так как установившаяся составляющая тока третьего равна нулю, то ток в цепи будет определяться только свободной составляющей:
Продифференцируем уравнение для тока (2.81) и запишем их для :
Запишем уравнение (2.81) для :
Из двух уравнений составим одну систему уравнений:
Решаем систему уравнений (2.84), подставляя известные численные значения (2.76), (2.80), (2.73), (2.73) и находим постоянные интегрирования и :
Подставляем полученные постоянные интегрирования в выражения для искомого тока третьего:
Таким образом, переходная характеристика заданного четырехполюсника имеет вид:
3. Расчет переходной характеристики операторным методом
Рассчитываемая цепь в операторном виде
На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение будет равно .
Запишем операторное сопротивление цепи:
Запишем выражение для первого тока в операторном виде:
Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:
Запишем выражение выходного напряжения в операторном виде:
Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и :
Приравниваем знаменатель выражения к нулю — и находим корни заданного квадратного уравнения:
Найдем производную от знаменателя дроби (2.92) то есть :
применяя теорему разложения, определим оригинал по формуле:
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (2.92) первый корень характеристического уравнения
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:
В выражение подставим, первый корень характеристического уравнения и получим:
В выражение подставим второй корень характеристического уравнения (2.95) и получим:
Подставляем найденные значения в выражение:
Построим график переходной характеристики четырёхполюсника:
Переходная характеристика четырёхполюсника
4. Расчёт импульсной характеристики четырёхполюсника
Операторная схема заданного четырехполюсника
На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .
Запишем операторное сопротивление цепи:
Запишем выражение для первого тока в операторном виде:
Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:
Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде:
Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и :
Приравниваем знаменатель выражения к нулю — и находим корни заданного квадратного уравнения:
Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики, так как заданные уравнения идентичны:
Найдем производную от знаменателя дроби то есть :
В соответствии с теоремой разложения имеет вид:
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) первый корень характеристического уравнения:
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:
В выражение подставим первый корень характеристического уравнения и получим:
В выражение подставим второй корень характеристического уравнения и получим:
Подставляем найденные выражения в аналитическую форму импульсной характеристики;
5. Расчет — параметров четырехполюсника
При записи уравнений в форме положительное направление токов выбирается согласно рисунку 4.1. Удобство выбора именно такого положительного направления тока связано в данном случае с тем, что форма применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к выходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приёмником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.
Коэффициенты в общем случае комплексные и зависят от частоты: и — безразмерные, — имеет размерность сопротивлений, имеет размерность проводимости. Эти коэффициенты могут быть определены следующим образом (рисунок 4.1):
— отношение напряжений при разомкнутых выходных зажимах;
— отношение токов при закороченных выходных зажимах;
— величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных зажимах;
— величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных зажимах;
В нашем случае расчет — параметров будет произведен через параметры холостого хода и короткого замыкания.
Коэффициенты и представляют собой входные проводимости четырехполюсника рисунок 6.1, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно и представляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.
Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:
Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты:
В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов получаем:
Основываясь на наше задание начнем расчет — параметров с того, что рассчитаем сопротивления холостого хода и короткого замыкания для заданной цепи.
Сопротивления холостого хода цепи найдем, используя выражения (5.1) и (5.3):
где — входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1, в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2, Ом. То есть зажимы 2 -2 не подключены.
где — сопротивление со стороны зажимов 2 — 2, в режиме холостого хода на зажимах 1 — 1, Ом. То есть зажимы 1 — 1 разомкнуты и ток не будет проходить через конденсатор, а будет протекать в направлении резистора , поэтому будет определяться выражением (4.3).
где — входное сопротивление со стороны зажимов 1 — 1, при закороченных зажимах 2 — 2, Ом. Так как зажимы 2 — 2 соединены между собой, соответственно ток третий, протекающий через резистор не будет проходить через R3, а пойдет по пути наименьшего сопротивления, поэтому будет определяться выражением (5.5);
где — входное сопротивление со стороны зажимов 2 — 2, в режиме короткого замыкания на зажимах 1 — 1, Ом. То есть зажимы 1 — 1 соединены между собой и токи, протекающие в заданной схеме, будут проходить через все элементы цепи. поэтому будет определяться выражением (4.7).
Используя значения определяю — параметры
Проверим условие правильности подсчёта А-параметров:
. Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника
Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.
Характеристические сопротивления будут выглядеть следующим образом:
Положим, что сопротивления и в схемах рисунок 6.1 а и б подобраны таким образом, что и . иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: и , которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рисунок 6.1 в); входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рисунок 6.1, г).
Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.
Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.
Предположим, что
Тогда получим:
Совместное решение этих уравнений относительно и дает:
Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр , удовлетворяющий условиям:
Эти условия всегда осуществимы, так как параметр может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами соответствует тригонометрической формуле:
Параметр в общем случае комплексный; называется характеристической постоянной передачи четырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть — А называется постоянной ослабления четырехполюсника, а мнимая часть В-постоянной фазы.
Децибел — единица затухания, в 10 раз меньшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза. Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в 2,718 раза.
Используя — параметры четырехполюсника, получаем характеристические сопротивления четырехполюсника (5.1), (5.2) и (5.3) (рисунок 4.2).
где — коэффициент передачи по напряжению;
— передаточное сопротивление, Ом;
— передаточная проводимость, См;
— отношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов.
где — характеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника;
— характеристическая (собственная) постоянная ослабления четырехполюсника, Нп или дБ;
— характеристическая (собственная) постоянная фазы четырехполюсника, рад или град.
Заключение
В ходе выполнения данной курсовой работы были исследованы: комплексный коэффициент передачи по напряжению , амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) характеристики цепи, переходная характеристика и импульсная характеристика заданного четырехполюсника, сопротивления холостого хода , и короткого замыкания , , А — параметры четырехполюсника, характеристические сопротивления четырехполюсника и , и характеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника.
Список литературы
1. Попов В.П. основы теории цепей: учебник / Попов В.П. — 6-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 2007 — 575 с.
. Атабеков Г.И. основы теории цепей: линейные электроцепи / Атабеков Г.И. — 6-е изд. — СПб: Лань, 2008-592 с.
. Новгородцев А.Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по теории электрических цепей. СПб: Питер, 2006
. Новиков Ю.Н. Н73 Электротехника и электроника. Теория цепей и сигналов, методы анализа: Учебное пособие. СП6: Питер, 2005.