Учебная работа. Основы механики

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

основы механики

Дано

ПараметрОбозначениеЗначениеЕдиница измеренияМасса грузаm8кгСкорость начальная грузаv010м/секПостоянная силаQ16НСила сопротивления средыR0,5v2НРасстояние АВl4МПеременная силаFx6t2Н

найти: закон движения груза D на участке ВС

Решение

1.рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и .

Проводим ось ВZ и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось.

или

Проекция силы N на ось z равна 0

далее находим Rz=R=0,5v2 Qz=Q= 16 H

Принимая g=10 м/сек и деля части равенства на m и подставляя известные значения величин находим

после преобразований и разделения переменных проинтегрируем правую и левую части равенства

Учитывая начальные условия (v=v0 и z=0) найдем постоянную С1

Тогда полученное равенство примет вид

=> =>

И подставляя все известные значения (v=v0 = 10 м/сек, и z = l = 4 м) получаем

То есть скорость груза D в конце участка АВ будет равна vB =11,6 м/сек.

2.теперь рассмотрим движение груза на участке ВС. найденная скорость vB будет для движения на этом участке начальной скоростью v0 = vB =11,6 м/сек. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие yа него силы P, N и Fx. Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось. Так как проекции сил N и Р на ось х равны 0, то

или, деля на m правую и левую части и учитывая что Fx= 6t2

Разделяя переменные и интегрируя части равенства найдем

Будем теперь отсчитывать время от момента когда груз находился в точке В, считая в этот момент t0 = 0. Тогда при t = t0 = 0 vх = v0 =vB = 11,6 м/сек, и

C2 = v0 = 11,6 Тогда формула скорости примет вид

Умножая обе части на dt и снова интегрируя, найдем закон движения груза на участке ВС

так как при t = 0 х = 0 то С3 = 0и окончательно искомый закон движения груза будет иметь вид

где х — в метрах а t — в секундах

Ответ:

Дано

ПараметрОбозначениеЗначениеЕдиница измеренияМасса плитыm124кгМасса груза Dm28кгЗакон движения грузаs=AD=F(t)0,4sin(pt2)мСкорость движения плиты 1uм/секСкорость движения плиты 1 (начальная)u00м/сек

Найти: N1 — полную силу нормального давления плиты на направляющие в момент времени t1 = 1 сек.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы Р1, Р2 и реакцию N.

Для определения N1 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось Y.

или где m — масса системы Р1=m1g Р2=m2g вес плиты и груза соответственно.

Из формулы определяющей ординату уС центра масс системы, следует что для рассматриваемой системы

где, как видно из рисунка

yC1=h а

Вычисляя производные и учитывая, что h=const получим

Подставив это

Ответ: N1= 324 Н

Дано

ПараметрОбозначениеЗначениеЕдиница измеренияРадиус шкива 4 (большая ступень)R40,3мРадиус шкива 4 (меньшая ступень)r40,1мРадиус шкива 5 (большая ступень)R50,2мРадиус шкива 5 (меньшая ступень)r50,1мКоэффициент тренияfтр0,1Масса груза 2m24кгМасса шкива 4m48кгМасса катка 3m36кгМомент сопротивления шкива 5M50,4НмПеремещениеs1мВнешняя силаF=f(s)80 (3+4s)Н

найти: vC3 — скорость центра масс катка.

1.рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 2,3,4 и 5 соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему силы: активные F, P2, P3 P4 момент сопротивления М5, реакции N2, N3 N4 N5 и силы трения F2тр и F3тр.

Для определения vC3 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

(1)

2.Определим Т0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0=0. Величина Т равна сумме всех тел системы

Т=Т2+Т3+Т4

где

(2)

3.Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система когда точка С1 пройдет путь s1. одновременно все перемещения следует выразить через заданную величину s1

Работа остальных сил равна 0, так как т.К3, где приложены силы N3 и Fтр3, — мгновенный центр скоростей, точки приложения сил N4, N5 и Р4 неподвижны, а реакция N2 перпендикулярна перемещению груза 2.

(3)

4.Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что Т0=0 получим

Ответ: vC3=5,14 м/сек

Дано

ПараметрОбозначениеЗначениеУгловая скорость валаw10 с-1Отрезки вала АB=ВD=DE=EKb0,4 мДлина стержня 1l10,4 мМасса точечная на стержне 1m16 кгДлина стержня 2l20,6 мМасса стержня 2m24 кгУгол наклона стержня 1a60°Угол наклона стержня 2b75°

найти: реакции подпятника и подшипника.

Для определения искомых реакций применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси AХУ так, чтобы стержни лежали в плоскости ХУ и изобразим действующие на систему внешние силы — силы тяжести Р1 и Р2 составляющие ХА и YA реакции подпятника и реакцию ХЕ подшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня 2 и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно то имеются только нормальные ускорения аnk направленные к оси вращения, численно равные аnk=w2hk где hk — расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции Fkи будут направлены от оси вращения и численно равны

где Dm — масса элемента.

поскольку все Fkи пропорциональны hk, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей R2и, линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника т.е. на расстоянии Н2R от вершины В, где Н2R = 2/3 Н2 а Н2=l2cos 75°. Но равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня

Аналогично для силы инерции груза найдем

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ХУ то и реакции опор также будут лежать в этой плоскости.

Согласно принципу Даламбера все внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил 3 уравнения равновесия, получим:

Подставив сюда все числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив данную систему уравнений найдем искомые реакции.

Ответ: XA=−173 H,YА= 98,1 НХЕ = −150,8 Н

Дано

ПараметрОбозначениеЗначениеРадиус шкива 1 (большая ступень)R1RРадиус шкива 1 (меньшая ступень)r10,4RРадиус шкива 2 (большая ступень)R2RРадиус шкива 2 (меньшая ступень)r20,8RВес шкива 1Р110РВес груза 4Р42РВес катка 5Р5РМомент сопротивления шкива 1M10,3PRВнешняя силаF4Р

найти: угловое ускорение шкива 1 e1

)Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота шкива j.

Составим уравнение Лагранжа

(1)

2)Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме энергий всех тел.

Т=Т1+Т4+Т5(2)

Так как груз 4 движется поступательно, шкив 1 вращательно а каток 5 плоскопараллельно, то

где, поскольку масса шкива распределена равномерно по ободу, а каток сплошной (его радиус обозначим r5)

)Все скорости входящие в Т1,Т4 и Т5 выразим через обобщенную координату равную очевидно w1. Если учесть при этом, что а и что точка катка К является для катка 5 мгновенным центром скоростей, то получим

груз кинетический подшипник лагранж

Подставляя значения величин в указанные выше формулы, а затем значения Т1,Т4 и Т5в равенство (2), найдем окончательно, что

Так как здесь T зависит только от то

и (3)

4)Найдем обобщенную силу Q. Для этого изобразим силы, совершающие при движении системы работу., т.е. силы P1, P4 и Р5 и момент сил М1, направленный против вращения шкива. затем сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата j получит положительное приращение dj и покажем перемещения каждого из тел: для груза 4 это будет перемещение dS4, для шкива 1 — поворот на dj1, для катка 5 — перемещение dS5 его центра. после чего вычислим сумму элементарных работ и момента сил на данных перемещениях. Получим

Все входящие сюда перемещения выражаем через dj

= 1,14RP(4)

5)Подставляя найденные величины (3) и (4) в (1) получим

откуда

Ответ: e1 = 4,27 сек-2

Учебная работа. Основы механики