Учебная работа. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Задание K2. Определение скоростей и ускорений
точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Дано:

x=c2t2+c1t+c0,

R2=40см,

r2=25 см,

R3=20 см,

x0=9 см,

V0=8 см/с,

x2=65 см,

t1=1с,

t2=2с.

c1-?    c2-?    c3-?

V-?    a-?     -?

-?   VM-?

Уравнение груза 1 имеет вид:                 (1)

x=c2t2+c1t+c0.

Коэффициенты c2 , c1 , c0 могут быть определены из следующих условий:

При t=0c x=9  =V0=8;                                     (2)

При t=2c x=65.                                         (3)

Скорость груза 1

V == 2c2t+c1                                                                        (4)

Подставляя (2) и (3) в (1) и (4)
получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты

c2, c1, c0

таким образом, уравнение движения
груза 1 имеет вид:

x= 10 t2+8t+9.                                           (5)

Скорость груза 1:

V ==20t+8

При t=1c V=28см/c.                                 (6)

ускорение груза 1:

a=20см/с2.

Для определения скорости и ускорения
точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза V и угловые скорости
колес  и .

 

откуда имеем:

                                     (7)

Т.к. V =20t+8 ,
то

;

При t=1c =2,24рад/с.

Угловое ускорение колеса 3:

Скорость точки М, ее вращательное,
центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

VМ=см/с.

см/с2.

см/с2

см/с2

28

20

2,24

1,6

44,8

100,35

32

105,33

Задание:

найти скорость 1 тела в конце отрезка
s.

Дано:

 кг

 кг

 кг

м

 м

 м

 м

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы

(т.к.
система состоит из абсолютно твёрдых тел)

T0=0(т.к. в начальный момент времени система покоилась)

Определим кинетическую энергию системы в конечный момент
времени

Определим работу сил в конечный момент времени

A

A

Определим скорость в конечный момент времени

 (м/с)

Ответ:  м/с

К4.
Кинематический анализ многозвенного механизма

Дано:

=2рад/с.

=

a=50см

b=30см

O1A=14см

O2B=29см

AB=45см

BC=54см

CD=34см

DE=37см

найти:

1) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех
его звеньев с помощью плана скоростей;

2) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех
его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;

3) ускорения точек А и В и угловое
ускорение звена АВ;

4) положение мгновенного центра
ускорений звена АВ;

5) ускорение точки М, делящей звено
АВ пополам.

Определние скоростей точек и угловых
ускорений звеньев с помощью плана скоростей.

Определяем скорости точек.

Строим схему механизма в выбранном
масштабе (рис1). Вычисляем модуль скорости точки А кривошипа О1А:

      =м/с.

Вектор  перпендикулярен
О1А и направлен в сторону вращения кривошипа.

Для определения скорости точки В
через

полюс О проводим прямую, параллельную

скорости , через
точку а- прямую,

перпендикулярную АВ. Получаем точку b;

отрезок Оbопределяет скорость точки В.

Измеряем длину луча Оb и, пользуясь масштабом скоростей,
находим =13см/с

Продолжая построение плана скоростей,
находим , ,

=13 см/с.

=13
см/с.

=5,3
см/с.

Определяем угловые скорости звеньев
механизма.

Отрезок ab плана скоростей выражает вращательную скорость точки В
вокруг точки А:

ab=;

отсюда угловая скорость звена АВ

    =ab/AB=14,5/45=0,32 рад/с

Аналогично определяются угловые
скорости звеньев ВС и ED:

=bc/BC=0/54=0

    =ed/ED=14/37=0,38 рад/с

Угловая скорость звена О2В
определяется по вращательной скорости точки В вокруг неподвижного центра О2.

=13/29=0,45
рад/с

Определение скоростей точек и угловых
ускорений звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.

а) Определяем положения мгновенных
центров скоростей звеньев механизма.

Строим схему в выбранном
масштабе(рис3)

Звенья О1А, O2B вращаются вокруг неподвижных центров О1 и О2.

       

Рис3

Мгновенный центр скоростей РАВ
звена АВ находится на как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из
точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенного
центра скоростей РDE. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности.

Б) Определяем скорости точек.
Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от этих точек до
мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев. Эти расстояния измеряются
на чертеже.

Для определения скорости точки В
звена АВ имеем пропорции

АРАВ/ВРАВ.

следовательно ,

ВРАВ/АРАВ.

см/с.

Т.к. мгновенный центр скоростей звена
ВС находится в бесконечности, то

Для определения скорости точки Е
звена ED имеем пропорции

ЕРED/DPED.

следовательно,

DPED/EPED.

см/с.

Одновременно с определением модулей
скоростей точек находим их направления, а также направления вращений звеньев
механизма. например, по направлению скорости точки А и положению мгновенного
центра скоростей РАВ устанавливаем, что вращение звена АВ
происходит по часовой стрелке. поэтому скорость точки В при данном положении
механизма направлена влево.

Аналогично определяем направления вращений остальных звеньев и
направления скоростей точек механизма.

в) Определяем угловые скорости
звеньев механизма

Скорость любой точки звена равна
произведению угловой скорости этого звена на расстояние от точки до мгновенного
центра скоростей:

АРАВ.

 АРАВ.

28/64=0,43
рад/с.

Угловая скорость звена О2В
определяется по скорости точки В:

13,1/29=0,45
рад/с.

Угловая скорость звена ВС равна нулю,
т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности:

Аналогично вычисляем угловую скорость
звена ED:

EPED.

5,4/14=0,38 рад/с.

3. Определение ускорений точек A и B и угловое ускорение звена АВ.

Определяем  и
.

С помощью теоремы об ускорениях точек
плоской фигуры определяем ускорение точки В:

.

Т.к. кривошип О1А
вращается равномерно, то ускорение точки А направлено к центру О1 и
равно

см/с2.

Центростремительное ускорение точки В
во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А направлено от точки В к
точке А и равно

0,43=19,43
см/с2.

Откладываем от точки В в
соответствующем масштабе ускорение полюса . Из конца
вектора  строим вектор , проводя
его параллельно ВА. Через конец вектора  проводим
прямую JK, перпендикулярную ВА, т.е.
параллельную вращательному ускорению . Однако определить
ускорение  этим построением невозможно, т.к. его направление
неизвестно.

Чтобы найти ускорение точки В,
необходимо выполнить второе построение, рассматривая эту точку как
принадлежащую О2В. В этом случае

 

Центростремительное ускорение точки
В:

 см/с2.

Откладываем от точки В вектор , направив его к центру О2. Через
конец вектора  проводим прямую LN перпендикулярно О2В, т.е.
параллельно вращательному ускорению  .

Точка пересечения этой прямой с JK определяет концы векторов  ,

  80 см/с2.

49 см/с2.

Т.к. =АВ, то угловое ускорение звена АВ

/АВ=49/45=1,09 рад/с2.

4)Определение положения мгновенного
центра ускорений звена АВ.

Примем точку А за полюс. Тогда
ускорение точки В

Строим параллелограмм ускорений при
точке В по диагонали  и стороне .
Сторона параллелограмма  выражает ускорение точки
В во вращении АВ вокруг полюса А. ускорение  составляет
с отрезком АВ угол , который можно измерить на
чертеже.

Направление вектора  относительно полюса А позволяет определить
направление , в данном случае соответствующее направлению
часовой стрелки Отложив угол  от векторов  и  в этом направлении и
проводя два луча, найдем точку их пересечения —
мгновенный центр ускорений звена АВ.

5) Определение ускорения точки М.

Найдем ускорение точки М с помощью
МЦУ.

ускорения точек плоской фигуры
пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений:

.

Подставив расстояния, определенные по
чертежу

К7.
Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Дано:

OM=Sr(t)=25sin(t/3);

4c

a=25см

v-?

a-?

Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ.

При 4c Sr=25 sin(4/3)= -21,65 см.

Абсолютную скорость точки М найдем
как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

 

Модуль относительной скорости , где  dSr/dt=25cos(t/3) /3

При t=4c -13,08см/с.

13,08см/с.

Отрицательный знак у  показывает, что вектор направлен в сторону убывания Sr.

Модуль переносной скорости =, где

  -радиус
окружности L, описываемой той точкой тела, с
которой в данный момент совпадает точка М,

-модуль
угловой скорости тела.

Найдем .

Рассмотрим прямоугольный треугольник .

АМ=ОА-ОМ.

АМ=25-21,65=3,35см.

=25см.

По теореме Пифагора имеем:

=25,22см.

Найдем .

, где

=d/dt =4t-0,5

При t=4c =15,5рад/с.

знак ”+” у величины  показывает, что вращение тела D происходит в ту же сторону, в
которую ведется отсчет угла .

Тогда модуль переносной скорости

==390,91 см/с.

Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.

Через точку М проводим оси X и Y.

Из треугольника :

=AM/ 

=3,35/25,22=0,13

Тогда

1,704 см/с

403,86см/с.

значит v =

403,86см/с.

Абсолютное ускорение точки М равно
геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

, где в
свою очередь

Относительное движение.

Это движение происходит по закону Sr(t)=25sin(t/3);

Модуль относительного касательного
ускорения ,

При t=4c 23,72см/с2.

23,72см/с2.

Модуль относительного
центростремительного ускорения =0, т.к. радиус кривизны
относительной траектории стремится к бесконечности.

Переносное движение.

Это движение происходит по закону

Модуль переносного вращательного
ускорения , где

= — модуль углового ускорения тела D

d2/dt2=4рад/с2

Знаки у  и  одинаковые. значит вращение тела D ускоренное.

Тогда  см/с2

Модуль переносного
центростремительного ускорения

=6059,1
см/с2.

Кориолисово ускорение.

Модуль кориолисова ускорения
определяем по формуле

, где


угол между вектором  и осью вращения (вектором ).

В нашем случае =, т.к. ось
вращения перпендикулярна плоскости вращения тела D.

Тогда 12118,21
см/с2.

Направление вектора найдем по правилу Н.Е.Жуковского: т.к. вектор
 лежит в плоскости, перпендикулярной оси
вращения, то повернем его на  в направлении , т.е. против хода часовой стрелки.

Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.

Через точку М проводим оси X и Y.

+

=100,88+23,72-6059=-663,3см/с2.

18174,22см/с2.

=18186,32см/с2.

Ответ: 13,08см/с =390,91 см/с. 403,86см/с.

23,72 см/с2,
 см/с2, =6059,1 см/с2, 12118,21 см/с2, =18186,32

Учебная работа. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях