Учебная работа. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Реферат

по
курсу общая электротехника и электроника

На
тему:

«Операторный метод расчета переходных
процессов в линейных цепях
»

Содержание

Введение

1. Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету
переходных процессов

2. Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения

3. законы цепей в операторной форме

4. Эквивалентные операторные схемы замещения

список
литературы


Введение

Электротехника — это наука о техническом (т.е. прикладном)
использовании электрических и магнитных явлений. Большое значение
электротехники заключается в том, что средствами электротехники

эффективно получают и передают электроэнергию;

— решают вопросы

·  
передачи и
преобразования сигналов и информации: звук человеческой речи преобразуют в
электромагнитные колебания (телефон, радио);

·  
хранения
информации (телеграф, радио, магнитная запись);

выполняют математические операции: вычислительные машины с
огромной скоростью выполняют любые математические операции, в том числе и
решение сложных уравнений.

Теоретические основы электротехники заложены физикой (учением
об электричестве и магнетизме) и математикой (методами описания и анализа
электромагнитных явлений). Наряду с этом развитие электротехники привело к ряду
новых физических понятий, новых формулировок физических законов, к развитию
специальных математических методов, связанных с описанием и анализом типичных
явлений, протекающих именно в электротехнических устройствах.


1 Применение
преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов

Этот метод основан на
преобразовании Лапласа. Пусть f(t) – оригинал, а F(p) – изображение этого оригинала по Лапласу. Для сокращения
применяют такие обозначения: f(t)F(p), F(p)=

Прямое преобразование
Лапласа определяется интегралом:

,  

Для большого числа
функций составлена таблица соответствия изображения и оригинала, кроме того,
знание свойств преобразований Лапласа позволяет по небольшому числу выученных
изображений находить широкий класс изображений функций.

Основными свойствами
являются:

1. Свойство линейности

 

=,
,

2. ,

3. .

Последними двумя
свойствами очень удобно решать дифференциальные уравнения.

Смещение аргумента:

 

,

.

Свертка:

.

Предельные соотношения

Они позволяют не находя
всего оригинала по изображению найти значение оригинала при t=0 и t→ ∞.

 и .

Если известно
изображение, то можно перейти к оригиналу одним из трех способов:

1) взять обратное преобразование;

2) взять таблицу;

3) воспользоваться формулами разложения.

Изображение стандартных
функций:

1) Ступенчатое
воздействие

,

.

2) Дельта-импульс

,

.

Если ступенчатая функция
и δ-импульс заданы в момент t1 , используя теорему смещения,
получают:

 

,

.

3)

Пусть α=jω, тогда:

,

 

с другой стороны по
формулам Эйлера:

,
.

Изображение синусоиды с
нулевой начальной фазой:

,

.


2 Переход от
изображения к оригиналу. Формулы разложения

 

Эти формулы позволяют найти
оригинал, если изображение задано дробно-рациональной функцией:

Пример:

,

.

Если m<n, то изображение записывают в виде: .

Характеристическое
уравнение – выражение F2(p)=0 и, в зависимости от корней в оригинале, появляются
соответствующего вида слагаемые, каждое из которых соответствует простейшей
дроби.

чтобы не искать коэффициенты
дробей из систем уравнений, пользуются формулами разложения. Они имеют вид:

1) каждому простому корню
характеристического уравнения  в
оригинале, будет соответствовать слагаемое , где;

2) среди корней есть пара
комплексно сопряженных: , . Можно воспользоваться предыдущей
формулой для каждого корня, но проверка показывает, что коэффициенты перед exp оказываются к.с.ч. и можно упростить
процедуру, записывая ответ сразу для двух корней в виде: , где  — корень с положительной мнимой частью.

Пример:

, ,

,

, .

3) Среди корней есть
кратные или одинаковые, в этом случае для группы кратных корней получаются
сложные выражения, но если таких корней всего два, им в оригинале будет
соответствовать такая запись:

Пример:

,

Из примеров видно, что
корню pх=0 в оригинале соответствует величина, которую в
классическом методе называют принужденной составляющей. Используя все
вышеизложенное, можно в таком порядке рассчитывать переходной процесс.

(1) В схеме до коммутации
находят  и .

(2) Для схемы после
коммутации записывают полную систему уравнений Кирхгофа и применяют к ней
прямое преобразование Лапласа. В результате получают систему операторных
уравнений.

(3) Из этой системы
находят изображение искомой величины и переходят к оригиналу. Так обычно
поступают, когда вся схема описывается одним уравнением. В сложных цепях этот
путь не эффективен, так как он позволит убрать только один недостаток
классического метода (поиск начальных условий). Второй недостаток – уравнения
можно писать только по законам Кирхгофа – остался. Чтобы и его убрать,
формулируют в операторной форме законы цепей и строят операторные схемы
замещения.

3 законы цепей в
операторной форме

Применим к законам
Кирхгофа для мгновенных значений прямое преобразование Лапласа.

Пример:

В некоторой схеме для
некоторого узла имеем уравнение: . Изображение источника легко находится (см. начало
операторного метода). например, если .

Пусть в некотором контуре
выполняется уравнение:

,

.

Тогда применяя
преобразования Лапласа, получим:

4 Эквивалентные
операторные схемы замещения

анализ полученных
выражений позволяет раз и навсегда нарисовать операторные схемы замещения
элементов, из которых можно строить операторную схему замещения всей
послекоммутационной схемы.

Из примеров видно, что
источник тока отображается изображением источника тока, а ЭДС – изображением
источника ЭДС.

Если бы в схеме был
управляемый источник , то . Аналогично с управляемым источником
тока. Для учета взаимных индуктивностей можно поступить аналогично, при этом в
схеме замещения появятся дополнительные источники ЭДС  и .

Если же до коммутации в
индуктивностях тока не было (расчет переходной и импульсной характеристики,
передаточной функции), то никаких дополнительных источников не появится, а
просто надо будет по прежним правилам учитывать напряжение взаимной индукции.

Пример:

С учетом сказанного, под
операторным методом понимают такой порядок действий.

1) В схеме до коммутации
рассчитывают  и .

2) рисуют операторную
схему замещения цепи после коммутации.

3) Самым эффективным
методом находят изображение той величины, которую надо найти.

4) Переходят от
изображения к оригиналу.

список литературы:

1.
Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам /
Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М.Милюков, В.П.Рынин; Под ред.
В.П.Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)

2.
основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос.
радиотехн. акад.; Сост.: В.Н.Зуб, С.М.Милюков. Рязань, 2005. 16 с.

3.
основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/
Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново,
1999. -360 с.

4.
Голубев А.Н. методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг.
ун-т. –Иваново, 2002. -212 с.

5.
Теоретические основы электротехники. / Г.И.Атабеков, С.Д.Купалян, А.В.Тимофеев,
С.С.Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.

Учебная работа. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях