Учебная работа. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Содержание

1. возникновение переходных процессов
и законы коммутации

2. Способы получение
характеристического уравнения

3. особенности переходных процессов в
цепях с одним реактивным элементом

4. Переходные процессы в цепях с двумя
разнородными реактивными элементами

5. Временные характеристики цепей

6. Расчет реакции линейной цепи на входное
воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи

список используемых источников

1. Возникновение
переходных процессов и законы
коммутации

Для изучения темы
реферата необходимо знать
расчет установившихся режимов, т.е. таких, когда все токи и напряжения либо
постоянные, либо периодически повторяющиеся функции времени, но в любой схеме
могут происходить подключения и отключения ветвей (происходит коммутация).
Обозначают коммутацию: . В
линейных цепях коммутация считается идеальной, т.е.:

1) ключ представляет собой
либо разрыв, либо провод;

2) длительность перехода
из одного состояния в другое равна нулю. момент времени сразу после коммутации
обозначают  либо , а момент времени
непосредственно перед коммутацией соответственно обозначают , . после коммутации цепь стремится под действием
источников схемы прийти к новому установившемуся режиму, но для этого ей
требуется время. Процессы, происходящие в цепи после коммутации, называются
переходными процессами.

Почему этот переход не может
произойти мгновенно? Дело в том, что в цепи имеются элементы L и C, в которых запасается определенная величина энергии WL=L2/2
и WC=Cu2/2 соответственно. В новом установившемся режиме будет другой
запас энергии, и, т.к. скорость изменения энергии есть подводимая к элементу
мощность, получается, что требуется конечное время на изменение этого запаса
энергии (т.к. источников бесконечной мощности в реальной цепи нет). Из выражения
для WL и WC и того факта, что в цепях не
развивается бесконечная мощность, вытекают два фундаментальных условия, без
которых невозможно рассчитать ни один переходной процесс – это законы коммутации.

Получим их:

,

т.к. P, L —
конечное число, L — конечное число, то  — скачка быть не может. Отсюда вытекает
один из законов коммутации: ток в индуктивности не может измениться скачком,
поэтому при коммутации: .
Дифференцируя dWC/dt, приходим ко 2-ому закону коммутации: напряжение на ёмкости
не может измениться скачком, поэтому при коммутации: . Т.к.  = LL, ,
то можно использовать и такие функции: , .

Про остальные величины, в
том числе и про скорость изменения любых токов и напряжений при коммутации
заранее ничего не известно и их приходится рассчитывать. Т.к. и форма изменения
токов и напряжений неизвестна, приходится использовать самые общие выражения: , . Тогда уравнения, описывающие цепь после
коммутации, оказываются дифференциальными. В линейной цепи – это линейные
дифференциальные уравнения (ЛДУ). существуют различные методы решения таких
уравнений, и соответственно различают различные методы расчета переходных процессов.

2 Способы получение
характеристического уравнения

классический метод

Классический метод
основан на решении ЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Любая система
ЛДУ может быть сведена к одному уравнению n –ого порядка. В цепях по схеме после коммутации порядок
определяется так: n = n L + n C – nОК
– nОС , где n L – число L; n C – число C; nОК – число особых контуров, т.е. таких,
которые состоят только из емкостей и источников ЭДС; nОС – число особых сечений (в простейшем случае, это узлы схемы,
к которым подключены только ветви с источником тока или с индуктивностями).

Решение уравнения
представляют в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (ЛНДУ) и
общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ).
частное решение определяется видом правой части уравнения. В цепях в правой
части уравнения стоят источники энергии схемы после коммутации. Физический
смысл частного решения уравнения в цепях – это новый установившийся режим, к
которому будет стремиться схема после коммутации под действием источников.
Поэтому частное решение ЛНДУ называют принужденной составляющей режима. Общее
решение ЛОДУ физического смысла не имеет. В противоположность принужденной
составляющей, его называют свободной составляющей переходного процесса.
свободная составляющая записывается в виде суммы слагаемых, число и вид которых
определяются корнями характеристического уравнения.

после записи решения
необходимо рассчитать произвольные постоянные, вошедшие в выражение общего
решения. Это можно сделать, если известны начальные условия. Начальные условия
– это значения искомой функции времени и необходимого числа её производных по
времени в начале переходного процесса, т.е. при t=0.

Все начальные условия
делят на две группы:

независимые начальные
условия, это L(0) и uC(0), которые находятся по законам коммутации,
с помощью вычисленных ранее L(0-) и uC(0-) в схеме до
коммутации;

— все остальные начальные
условия – зависимые. Их приходится искать из цепи после коммутации в переходном
режиме по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений при t=0 с помощью независимых начальных условий.
Имея необходимое число начальных условий и рассматривая решение и его
производные по времени в момент , получают систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) из которой находят произвольные постоянные.

В соответствии с
изложенным, порядок расчета переходного процесса классическим методом может
быть таким:

1) рассматривают
установившийся режим схемы до коммутации и находят L(0-)
и uC (0-);

2) рассматривают цепь
после коммутации в новом установившемся режиме и находят принужденную
составляющую переходного процесса;

3) тем или иным способом
получают характеристическое уравнение и находят его корни в соответствии с
которыми определяют вид свободной составляющей;

4) записывают решение в
виде суммы принужденной и свободной составляющих.Если характеристическое
уравнение n – ого порядка, то формируется
система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n — ого порядка, включающая (n-1) производную решения. Переписывают СЛАУ для ;

5) рассматривают цепь
после коммутации в переходном режиме; рассчитывают необходимые начальные
условия (ННУ);

6) подставляют ННУ в СЛАУ
при  и находят произвольные
постоянные;

7) записывают полученное
решение.

Способы получения
характеристического уравнения

существуют различные
способы получения характеристического уравнения.

Если цепь описывается
всего одним уравнением, то его алгебраизируют: d/dt заменяют на p, dt
заменяют на 1/p, правую часть обращают в ноль и
получают характеристическое уравнение.

Если режим в цепи
описывается системой из нескольких уравнений, то методом подстановки их сводят
к одному и поступают точно также как описано выше (обычно так не делает).

универсальный способ

Систему уравнений по
законам Кирхгофа для цепи после коммутации алгебраизируют и составляют
определитель системы, и приравняв его к нулю, получают характеристическое
уравнение.

Воспользуемся этим
способом.

Пусть схема после
коммутации имеет вид:

, ,

Если в схеме нет
управляемых источников и взаимных индуктивностей, то проще всего поступить так:
в схеме после коммутации все источники заменить их внутренним сопротивлением,
вместо индуктивности L
написать pL, вместо емкости C написать .

а) Если в полученной
схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной
пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения .

б) Если в полученной
схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в
которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва
записывают .

Характеристическое
уравнение имеет вид:

.

Для рассмотренного выше
примера получим:

Выражение для свободной
составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют
такой вид:

а) каждому простому
вещественному корню  соответствует
слагаемое .

Если два корня, то
процесс апериодический.

б) двум
комплексно-сопряженным корням:  и  соответствует A1ePx1 t
+A2ePx2 t, где A1, A2 – получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными
числами. поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в
другом виде (где не будет j): .

По этому выражению не
очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно
преобразовать (либо в sin,
либо в cos): Ce-t sin(ct+1)=De-t cos(c t+2) – затухающий во времени
гармонический процесс – колебательный процесс.

в) среди корней есть m одинаковы[ (если таких корней два,
то переходный процесс называется критическим).

;

Пример: Дано: E=40В, R1
=R2=400 Ом, L=5Гн, C=5
мкФ. найти .

1) В схеме до коммутации стоит
постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.

t<0

, .

Если источник ЭДС
синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.

t

Видно, что после
коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном
режиме – постоянный ток.

.

3) получают
характеристическое уравнение

.

4) записывают решение

5) определяют начальные
условия

Для схемы после
коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих
уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные
зависимые начальные условия, например, методом подстановки.

При решении надо выразить
значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные
условия.

Например, для нашей
задачи:

В нашей задаче для
расчета  надо найти 2
начальных условия, т.к. имеем 2 корня характеристического уравнения и 2
произвольные постоянные, поэтому надо знать R(0)
и R(0).

Из (1):

,

Из (3):

 

,

.

6) расчет произвольных
постоянных

В нашем случае:

При :

Тогда из (1)

Из (3)(2)

Ответ: , А.

3. особенности переходных
процессов в цепях с одним реактивным элементом

В таких цепях
характеристическое уравнение будет первого порядка. Получить это уравнение
можно, например, так:

По способу Zвх(p)=0, при этом схемы могут иметь вид:

Рис (1) , ,

Рис (2) , .

Видно, что корень
характеристического уравнения получается отрицательным, т.е. с течением времени
свободная составляющая .

ясно, что в разных схемах
различными получаются величина А, величина , но свободная составляющая всегда будет иметь вид
затухающей экспоненты. Для таких функций вводятся специальная характеристика.

Постоянная времени цепи
(τ) – есть интервал времени, за который амплитуда свободной составляющей
уменьшается в e раз.

Воспользовавшись этим
определением, можно найти τ таким образом так как , то

.

В цепи: ,

т.е. τ зависит
только от параметров рассматриваемой цепи (τ не зависит от начальных
условий и напряжений источника).

Используя понятие τ,
можно условно ввести понятие длительности переходного процесса. Так как , то

t

τ

0,36

0,05

0,004

В соответствие с этой
таблицей принимают, что переходный процесс длится . К концу этого времени график переходного процесса
практически сливается с принужденной составляющей.

Если известен график
переходного процесса, из него можно найти τ.

Проще всего сделать так:
на глаз определить, где кончается переходный процесс.

длительность переходного
процесса делят на . Это и
будет τ.

— Из графика переходного
процесса вычитают принужденную составляющую. Это будет график свободной
составляющей. Задаются моментом времени t1 и находят из графика xсв(t1). Делят эту величину на e и получают xсв(t1+ τ). Находят на графике эту
величину, из нее определяют время t2 и затем
находят τ как τ = t2 — t1

— τ есть величина
под касательной к графику переходного процесса. Подкасательная – это этой касательной с асимптотой.

 

Пример: Дано: , ,
. найти i(t), uc(t)

 

1) t<0

i(0_)=0, uc(0_)=0,

2) t→∞

, ,

Должен существовать
переходной процесс, в течении которого от источника энергия передается к конденсатору,
а по проводам идет ток, заряжающий конденсатор.

3)   ,

4) ; ,

,

,  ,

5) Расчет начальных
условий.

Тогда из получают

6)

,

 

Пример: Дано: , ,
. найти .

1)

, ,

2) Расчет принужденной
составляющей.

В данном случае
принужденный режим есть синусоидальный ток, поэтому расчет проведем
символическим методом.

,

Переходят к мгновенному
значению:

,

3) ; ,

4)

5)

6) ,

7)

,

График проще всего
построить по этапам:

1) принужденная
составляющая;

2) exp соответствует свободной составляющей
суммы этих графиков.

4. Переходные
процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами

В этих цепях
характеристическое уравнение имеет второй порядок, следовательно, будет два
корня и две произвольные постоянные в свободной составляющей. Самое главное это
то, что у квадратного уравнения есть 3 типа корней (вещественные различные,
вещественные одинаковые и пара комплексно-сопряжённых), поэтому вид свободных
составляющих в разных цепях получается различным. Рассмотрим возможные варианты
на простейших примерах.

Пример:

1) iL(0_)
= 0, uc(0_)=0,

2) i пр = 0, uR пр = iпрR = 0

uC пр = E, uL
пр = 0

3) Будем искать ток в
цепи. Тогда надо иметь два начальных условия: i(0) и i΄(0).

Для цепи после
коммутации:

,

  

В данной схеме все 3
способа получения характеристического уравнения имеют одинаковую трудоемкость.

, ,

,

.

В зависимости от величины
подкоренного выражения получаются разные типы корней.

Если , то подкоренное выражение равно нулю, и
следовательно получим . Из
выражения (*) видно, что это получается при некотором «критическом» значении
сопротивления .

Если же R > Rкр то подкоренное выражение положительно, и получим два
вещественных различных корня. Если R < Rкр, под корнем будет отрицательное число, и получим пару комплексно сопряжённых корней.

1) R > Rкр (два вещественных различных корня) и тогда решение для тока
запишется в виде:

,

,

и при t = 0 получаем два уравнения для
расчёта произвольных постоянных:

Из (1): , и подставляя в (2):  

График проще построить по
частям (принуждённая составляющая и каждое слагаемое свободной составляющей, а
затем сложить).

Говорят, что это
апериодический процесс.

Аналогично можно получить
выражения и графики для напряжения на электродах:

2) R = Rкр

,

Графики имеют в этом
случае точно такой же вид, как и в предыдущем случае, но в первом случае процессы
идут медленнее, чем во втором. Этот случай называется критическим переходным
процессом.

3) R < Rкр

, ,

т.е. при α→ 0 ωc стремится к резонансной частоте
данной цепи.

Решение запишется в виде:

 (классический метод)

(1) в (2):

(1)/(3):  , из (3)

Видно, что в данном
случае свободная составляющая представляет собой затухающую во времени
синусоиду. Такой переходной процесс называется колебательным или периодическим,
и график его проще построить так: симметрично относительно принужденной составляющей
строим график амплитуды свободной составляющей (график огибающей процесса),
дальше в график огибающей вписывают синусоиду с её начальной фазой и периодом
свободных колебаний.

,  —
коэффициент затухания,

 — частота свободных колебаний.

Рассматривать цепи более
высокого порядка смысла нет, потому что у любого уравнения корни могут быть
трех видов, а для каждого типа корней мы свободную составляющую уже получили.

5. Временные
характеристики цепей

Ранее мы рассматривали
частотные характеристики, а временные характеристики описывают воздействии. Таких характеристик всего две: переходная
и импульсная.

Переходная
характеристика

Переходная характеристика
— h(t) — есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое
воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не
было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие
имеет график:

1(t) – единичное ступенчатое
воздействие.

иногда используют
ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной
характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное
воздействие – напряжение) или постоянный источник тока (если входное
воздействие – ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток
или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h(t) для uc при входном воздействии в виде напряжения.

1) ,

2) ,

3) , ,

,

,

 

Пример: ту же задачу решить при входном
воздействии в виде тока

1) ,

2) ,

3) , ,

,

,

Импульсная
характеристика

Импульсная характеристика
— g(t) – есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде
дельта — функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения
воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

δ(t) – дельта-функция, дельта-импульс,
единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим
методом g(t) крайне неудобно, но так как δ(t) формально является производной , то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)δ(t) + dh(t)/dt.

Для экспериментального
определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть
создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают
последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

tф – длительность переднего фронта (время нарастания
входного сигнала);

tи – длительность импульса;

К этим импульсам
предъявляют определённые требования:

а) для переходной
характеристики:

— tпаузы должно быть таким большим, чтобы к
моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего
импульса практически заканчивался;

— tи должно быть таким большим, чтобы переходный процесс,
вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

— tф должно быть как можно меньше (так, чтобы за tср состояние цепи практически не
менялось);

— Xm должна быть с одной стороны такой
большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать
реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла
свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют
масштаб по оси ординат в Xm раз (Xm =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной
характеристики:

tпаузы – требования такие же и к Xm – такие же, к tф требований нет (потому что даже сама длительность
импульса tф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи
практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют
масштаб по оси ординат на площадь входного импульса .

Итоги по классическому
методу

Основным достоинством является
физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход
решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко
получить ответ.

недостатки: по мере
возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на
этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом
(практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при
расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации , .

следовательно, по законам
коммутации uc1(0) = 0 и uc2(0)
= 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= uc1(0)+uc2(0).

В таких задачах
приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся
преодолеть в операторном методе.

6. Расчет реакции
линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик
цепи

раньше мы рассматривали
два вида входного воздействия:

1) xвх= δ(t)-на входе будет импульсная характеристика g(t);

2) xвх= 1(t)-переходная характеристика h(t).

При произвольном заданном
виде входного воздействия, в линейной цепи тоже можно найти реакцию. Для этого
годятся и g(t) и h(t) и передаточная функция H(p), но в зависимости от формы входного сигнала, сложности цепи
и того математического аппарата, которым располагаешь, более удобно будет
применить какую-то одну из этих характеристик.

Рассмотрим применение
переходной характеристики h(t):

1) На входе действуют
прямоугольным импульсом

Воспользуемся принципом
наложения и представим этот импульс в виде двух скачков Um1(t) и -Um1(t-tu).

Если нам известна
переходная характеристика на h(t), то реакция на каждый скачок
записывается очень просто Umh(t) и -Umh(t-tu) (h(t)=1-e-t/τ).

Вся реакция определяется
сложением этих двух графиков.

Т.е. для 0≤t2) Входной сигнал –
функция, которая в некоторые моменты времени изменяется скачком, а между этими
моментами постоянно.

И в этом случае задача
решается просто: раскладываем входной сигнал на совокупность скачков и
записываем для каждого интервала времени свое выражение для реакции:

0≤t<10-3 xвых=5∙h(t)

10-3≤t<2∙10-3 xвых=5∙h(t)+10∙h(t-10-3)

t≥2∙10-3 xвых=5∙h(t)+10∙h(t -10-3) -18∙h(t -2∙10-3).

Все такие задачи решаются
с помощью h(t).

1) Входной сигнал в
некоторый момент времени имеет скачки, а между

этими моментами времени
плавно изменяется по тому-то закону (или вообще плавно изменяется без скачков).

Представим себе, что этот
сложный сигнал приближенно м.б. составлен из нескольких скачкообразных
воздействий (первое воздействие имеет амплитуду xвх(0) и возникает в момент t=0, второе воздействие возникает в некоторый момент t1 и имеет амплитуду xвх(t1)-xвх(0)=∆xвх(t1), третий сигнал поступает в момент t2 и имеет амплитуду ∆xвх(t2) и т.д.). значит можно написать, что
для некоторого момента t:

xвх(t)≈xвх(0)1(t)+∑∆xвх(tj)1(t-tj)
(*).

В сумме учитывая все те
ступеньки, которые возникли до нашего момента времени t. Если ступеньки брать помельче, выражение будет получаться
поточнее, но все равно приближенно. Получим теперь точное выражение. В нашем
случае:

xвых(t)≈xвх(0)h(t)+∑∆xвх(tj)∙h(t-tj) (**).

известно, что ∆xвх(tj)/∆tj≈x(tj) и
тогда (**) перепишется xвых(t)≈xвх(0)∙h(t)+∑xвх′(tj)∆tjh(t-tj).
уменьшая ∆tj до dtj вместо суммы получим интеграл: (для
удобства записи tj→λ)

Если бы функция имела
скачки не только в момент 0, но и в какие-то другие моменты. Пришлось бы для
каждого интервала времени в котором функция непрерывна, записывать свои
выражения отличающиеся друг от друга наличием реакции на скачки случившиеся до
рассмотрения момента времени t.

Пример: Есть h(t)=0,5e-500t. Надо найти реакцию цепи на входное
воздействие.

 

описывает входное
воздействие аналитически. В нашем случае можно считать, что в интервале от 0 до
10-3 Uвх1(t)=a+b∙t:

30=10+b∙10-3; a=10; b=2∙104.

Uвх2(t)=15+A∙e-t/τ ; τ=8∙10-4 ; t/τ=10-3/8∙10-4
;

Uвх2(t=10-3)=5=15+A∙e-1,25; A≈-30.

теперь для каждого
интервала времени записываем свое выражение:

0≤t<10-3

.

Берем интеграл, приводим
подобные члены, строим графики. Но в рамках курса ТОЭ РГРТУ требуется ответ до
состояния

t≥10-3

 

Применение импульсных
характеристик

Известно, что

1) g(t)= -1{H(p)},

2) xвых(p)=xвх(p)H(p),

3) =,

Пусть , ,

тогда =-1=

фактически это есть
другая форма интеграла Дюамеля, которая может быть получена используя связь g(t) и h(t). порядок применения получения
выражения такой же, но при численном нахождении интеграла удобней использовать
собственно интеграл Дюамеля.

Применение
передаточной функции

Если известно H(p) и xвх(t), можно записать изображение xвх(p), вычислить xвых(p)=H(p)xвх(p) и перейти к
оригиналу.

особенно удобно применять
H(p)тогда, когда xвх(t) имеет простой вид, позволяющий легко записать изображение xвх(p) либо сразу для всего сигнала, либо разложение его на более
простые компоненты и воспользовавшись принципом положения.

например:

xвх(t)=10e-100t

, ,

, ,
,

, ,

,

,

Этот входной сигнал можно
представить в виде совокупности двух более простых. Тогда

,

2) Для t≥10-2,
t<2∙10-2

3) .

теперь умножая на H(p) находим изображающие реакции и затем переходим к оригиналу.

Список используемых
источников

1. основы теории цепей.
Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е
изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. В.П. Попов. основы
теории цепей. Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1985. 496 с.

3. Теория электрических
цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн.
акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16
с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)

4. Электротехника и
электроника: Методические указания к расчетно-графической работе / Рязан. гос.
радиотехн. акад.; Сост. Г.В. Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)

5. М.Р. Шебес. Теория
линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990.
528 с.

6. Матханов П.Н. основы анализа
электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е
изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с.

7. Каплянский А.Е. и др.
Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для
электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972.
-448 с.

8. Теоретические основы
электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина.
Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.
–544 с.

Учебная работа. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях