Загрузка...исследование системы регистрации быстрых сигналов
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ российской ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ университет
Физико-технический институт
Кафедра электроники и автоматики физических установок
отчет по лабораторной работе на тему:
«исследование системы регистрации быстрых сигналов»
Выполнил: студент группы 0712 Столповский Алексей Евгеньевич
Принял: преподаватель Михалевич Сергей Сергеевич
Томск 2014
Теоретическая часть
Определение функционала:
Переменная величина V называется функционалом, определенным на некотором классе функций M, если каждой функции y(x) из класса M ставится в соответствие определенное число V ∈ R (v ∈ C), а сам класс M называется областью определения функционала. Для значений функционала v на элементе y = y(x) ∈ M используется символ V = V[y(x)].
Здесь в качестве функционального пространства M рассматривается пространство Ck([a, b]), состоящее из всех функций, определенных на отрезке [a, b] и имеющих непрерывные производные до k-го порядка включительно. здесь k — некоторое фиксированное число. При k = 0 пространство C0([a, b]) = C([a, b]) есть пространство всех непрерывных на [a, b] функций.
Нормой элемента y(x) ∈ Ck([a, b]) называется неотрицательное число
Две функции y1(x) и y2(x) из пространства Ck[a, b] называются близкими в смысле близости k-го порядка, если норма их разности мала на отрезке [a, b]. другими словами, близость функций y(x) и y1(x) в пространстве Ck ([a, b]) с заданной точностью δ > 0 означает, что , т.е. что близки не только сами функции, но и их производные до k-го порядка включительно.
Функционал называется линейным, если для любого λ ∈ R (λ ∈ C) и любых y1(x), y2(x) ∈ K справедливо
называется действием, а — функцией Лагранжа (или лагранжианом).
Каждой функции (траектории) ставится в соответствие действие . Здесь — непрерывная функция вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Свойства именно этого функционала и его обобщений обычно изучаются.
Исследуем некоторая исходная функция, а y1(x) — некоторая другая функция, близкая (например, в смысле близости k-го порядка) к y(x). Функцию y1(x) будем называть проварьированной (изменённой, от латинского variatio — изменение) функцией. Существует несколько представлений проварьированной функции y1(x).
Можно, например, ввести понятие вариации аналогично тому, как вводится понятие дифференциала в дифференциальном исчислении.
Приращением, или вариацией, «аргумента» y(x) функционала V[y(x)] называется разность между функциями y1(x) − y(x), y(x), y1(x) ∈ M. Для обозначения используется символ
Тогда проварьированную функцию можно записать как
символ , согласно определению следует понимать как единый, причем , поскольку производная разности равна разности производных:
другой подход состоит в том, что функция y(x) в функционале V[y(x)] рассматривается как однопараметрическое семейство
в котором изменение параметра α меняет функцию y(x), т.е. варьирует её. В этом случае сам функционал становится функцией от α, т.е , и его изменение в зависимости от вариации функции y(x) определяется параметром α. При этом вариацию можно определить как:
и для её произвольности семейство предполагать произвольным, а не фиксированным.
Обозначим через
где — линейный по отношению к функционал, а для функции при выбранной справедливо соотношение
Этот предел соответствует оценке
Фнукционал , имеющий вариацию при , называется дифференцируемым при . Для обозначения вариации функционала используется символ
Теорема
Если функционал дифференцируем в точке , то при любом функция как функция числа (при фиксированных и ) дифференцируема по при . причем вариацию функционала можно определить равенством
доказательство
Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались свойством линейности функционала по .
Ход работы
вариационный исчисление wolfram mathematica
Задание № 1
В первом задании мы нашли в символьной форме и вычислили приращение функционала, определённого на пространстве C1([a, b]) при различных и
Вычисляем приращение аргумента:
Вычисляем :
Вычисляем
Вычисляем приращение функционала:
Вычисляем приращение аргумента:
Вычисляем
Вычисляем приращение функционала:
при и .
Вычисляем приращение аргумента:
Вычисляем :
Вычисляем
Вычисляем приращение функционала:
очевидно, что на промежутке данный интеграл расходится за счёт слагаемых с в знаменателе.
Задание № 2
Во втором задании мы доказали, что функционал, определённый на пространстве C1([a, b]) является дифференцируемым в каждой точке этого пространства, то есть он имеет линейную относительно часть в своём приращении (вариацию).
Вычисляем приращение функционала:
очевидно, что в силу свойства линейности определённого интеграла, приращение функционала линейно относительно , а значит, данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.
Вычисляем приращение функционала:
снова используя свойство линейности определённого интеграла, можно показать, что из приращения данного функционала возможно легко выделить линейную часть:
а следовательно данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.
Можно справедливо заметить, что изучаемый в данной лабораторной функционал — действие (см. теоретическую часть) является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, а следовательно, достаточно рассмотреть общий случай.
Задание № 3
В третьем задании мы вычислили и графически изобразили приращение и вариацию функционала.
Вычисляем :
Вычисляем
Вычисляем приращение функционала:
Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно α часть):
Вычисляем значение данных функций при различных α:
Таблица 1. Значения функций в точках
α-1-0,6-0,3-0,1-0,05-0,01-0,005-0,001-0,8-0,528-0,282-0,098-0,0495-0,0099-0,005-0,001-1-0,6-0,3-0,1-0,05-0,01-0,005-0,001α0,0010,0050,010,050,10,30,610,0010,0050,010020,05050,1020,3180,6721,20,0010,0050,010,050,10,30,61
рисунок 1. График приращения и вариации функционала
.
Вычислем :
Вычислем
Вычислем приращение функционала:
Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно α часть):
Вычисляем значение данных функций при различных α:
Таблица 2. Значения функций в точках
α-1-0,6-0,3-0,1-0,05-0,01-0,005-0,001-3,3-2,309-1,291-0,462-0,235-0,048-0,024-0,005-4,8-2,875-1,437-0,479-0,239-0,048-0,024-0,005α0,0010,0050,010,050,10,30,610,0050,0240,0480,2440,4961,5953,5276,70,0050,0240,0480,240,4791,4372,8754,8
рисунок 2. График приращения и вариации функционала
Из полученных данных следует, что при малых α, а следовательно, при малых приращениях аргумента функционала (подробнее — см. вывод), приращение функционала можно заменить вариацией с незначительной погрешностью.
Задание № 4
При помощи теоремы, описанной в теоретической части нашли вариации заданных функционалов.
:
Здесь и в дальнейшем предполагаем, что функция является непрерывной в области определения и имеет непрерывную первую производную по α. Это необходимое условие внесения операции дифференцирования под знак интеграла.
:
Положив , записываем вариацию функционала:
:
Итак, вариация функционала имеет вид:
Вычисляем
:
Вычисляем
:
Положив записываем вариацию функционала:
Вычисляем
:
Вычисляем
:
Положив записываем вариацию функционала:
.
Вычисляем
:
Вычисляем
:
Положив записываем вариацию функционала:
Вывод
В ходе данной работы были изучены и проверены на практике основные постулаты вариационного исчисления, а также закреплены навыки работы с программным пакетом Wolfram Mathematica, то есть, цели работы были достигнуты. Более конкретные выводы приведены ниже:
1.Как мы убедились функционал — действие не всегда имеет приращение. например в случае, если на заданном пространстве интеграл функционала расходится. Однако это не означает, что при этом он не имеет вариации.
2.Можно доказать, и мы убедились на частных случаях, что функционал — действие является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, то есть, имеет вариацию.
3.При достаточно малых приращениях аргумента функционала (в нашем случае при приращении аргумента в 1% и менее) его нелинейное приращение может быть с достаточной степенью точности (до 4 знака после запятой) заменено линейной вариацией. Этот факт может быть использован при выведении теоретических закономерностей и при практических вычислениях.
4.Взяв во внимание результаты вычисления вариаций функционалов 4 и 5 четвёртого задания, можно заметить, что функционал, линейную часть приращения которого выделить нельзя, всё равно может иметь вариацию. иными словами, как написано в методическом пособии, «второе определение [вариации] является более широким».
.Все данные примеры также были посчитаны в пакете Mathematica, их с подробными комментариями можно увидеть в приложении к данной работе. сразу замечу, что все результаты полностью повторили полученные в данной работе. Для большей наглядности помимо вариаций функционалов четвёртого задания были посчитаны также их приращения.