Учебная работа. Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «САРАТОВСКИЙ государственный
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Кафедра нелинейной физики

КУРСОВАЯ РАБОТА

исследование индуцированной шумом
синхронизации в системах с дискретным временем

студента 3 курса факультета нелинейных процессов

Костакова Алексея Александровича

Научный руководитель

ассистент ______________________ О.И. Москаленко

Зав. кафедрой,

профессор, д.ф.-м.н. ______________________ Ю.П. Шараевский

Саратов – 2008



Содержание

Введение

синхронизация колебаний

Цель работы

Синхронизация, индуцированная шумом

Численное моделирование

Вывод

список литературы


Введение

Одна из
главных тенденции в мире ‑ тенденция к достижению общих ритмов взаимного
поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией
обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы
общего ритма функционирования.

С проявлением
синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике,
науках о жизни, медицине и т.д. Возможна синхронизация как двух элементов, так
и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно
исследуется коллективное синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты
генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах
точного времени и т.д. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение
при конструировании различных вибро-технических устройств. В качестве примеров
биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация, приведем: колонии
одновременно вспыхивающих светлячков; клетки, формирующие сердечный ритм;
вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе; группы сверчков, щебечущих
в унисон; ячейки в тонкой кишке млекопитающих; нейронные ансамбли,
обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу и т.д. Проблемы синхронизации
также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой.
Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции
Белоусова-Жаботинского.

В связи с
чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике
Потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление
специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн ‑ теории
синхронизации.


синхронизация
колебаний

Синхронизация
колебаний – одно из важнейших нелинейных явлений, привлекающих к себе широкое
внимание исследователей, имеющих как теоретическое, так и практическое скрытой передаче
информации с помощью хаотических сигналов, при управлении системами
сверхвысокочастотной электроники и т.п.).

С развитием
теории динамического хаоса было выявлено достаточно различных типов
хаотического синхронного поведения связанных динамических систем:


фазовая
синхронизация


обобщенная
синхронизация


лаг-синхронизация


перемежающаяся
фазовая синхронизация


перемежающиеся
лаг-синхронизация


перемежающаяся
обобщенная синхронизация


полная
синхронизация

Каждый из
этих типов синхронной хаотической динамики имеет свои особенности и способы
диагностики, при этом в научной литературе активно обсуждается вопрос о
взаимосвязи этих типов синхронного поведения. разные типы синхронизации связанных
хаотических осцилляторов могут рассматриваться как различные виды проявления
единых закономерностей, возникающих в связанных нелинейных системах.

Цель
работы

Целью работы
является изучение индуцированной шумом синхронизации: определение и методы ее
диагностики. А также построить программу, с помощью которой можно наблюдать
явление индуцированной шумом синхронизации, для двух отображений:

1.[1], где

2. [2], где

А также
построить для этих отображений зависимость ляпуновской экспоненты  от параметра связи ; и сравнить пороговое значение  (т.е. при котором становится отрицательным) с результатами,
полученными с помощью программы. А также сравнить полученные мной данные с
результатами приведенными в [1] и [2].

синхронизация,
индуцированная шумом

Под режимом
синхронизации, индуцированной шумом, понимается следующее: случайный сигнал , действующий на две независимые,
но идентичные хаотические системы  и  (с
разными начальными условиями  и
, лежащими в бассейне
притяжения одного и того же хаотического аттрактора), может приводить к тому,
что эти системы “синхронизуются” друг с другом, то есть после завершения
переходного процесса они начинают демонстрировать идентичное поведение .

Но
установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно
лишь в том случае, когда все условные ляпуновские экспоненты оказываются
отрицательными.

далеко не
всегда удается наблюдать синхронизацию, индуцированную шумом, в хаотических
осцилляторах, поскольку хаотические системы должны обладать определенными
свойствами (сильное сжатие фазового объема в фазовом пространстве, ограниченная
область фазового пространства, где наблюдается увеличение фазового объема и
др.)

Механизмы
возникновения

Возможны два
похожих механизма, приводящих к возникновению режима индуцированной шумом
синхронизации:

1.  
Случайный
сигнал  имеет ненулевое
среднее, что фактически переводит систему в нехаотический режим, при котором
состояние системы просто ‘следует’ за внешним случайным возмущением .

2.  
внешний
сигнал большой интенсивности (может быть, даже с нулевым средним значением)
переводит изображающую точку в области фазового пространства с большим сжатием
фазового потока, которая находится в этих областях большую долю времени, в
результате чего в среднем имеет место сходимость соседних траекторий.

В обоих
случаях определяющую роль играет сжатие фазового потока, при этом условные ляпуновские
экспоненты имеют отрицательные значения.


Связь
обобщенной синхронизации и синхронизации,

индуцированной
шумом

Режим
обобщенной синхронизации означает, что между состояниями взаимодействующих
однонапрвленно связанных ведущего  и ведомого  хаотических осцилляторов (с непрерывным или
дискретным временем), существует такая функциональная зависимость , что после завершения
переходного процесса устанавливается функциональное соотношение .

Сам вид
данной зависимости  (гладкая
или фрактальная) может быть достаточно сложным, а процедура ее нахождения
весьма нетривиальна. Выделяют сильную и слабую обобщенную синхронизацию.
Следует отметить, что в качестве взаимодействующих осцилляторов могут выступать
две разные динамические системы, в том числе и с различной размерностью
фазового пространства.

Очевидно, что
режим обобщенной хаотической синхронизации и режим синхронизации,
индуцированной шумом, несмотря на то, что традиционно считаются разными
явлениями, на самом деле обусловлены проявлениями одного и того же механизма и
вызваны одной и той же причиной – подавлением собственных хаотических колебаний
с помощью дополнительного введения диссипации (либо с помощью ненулевого
среднего значения шума в случае индуцированной шумом синхронизации, либо с
помощью дополнительного диссипативного слагаемого в случае режима обобщенной
синхронизации, либо смещением изображающей точки системы в области фазового
пространства с сильной диссипацией).



Численное
моделирование

Описание
рассмотренных систем

1.  
Логистическое
отображение под воздействием шума:

[3], где (1)

Значение
управляющего параметра , — параметр связи.

Случайная
величина  подчиняется
нормальному распределению ,
где , .

Бифуркационная
диаграмма для данного отображения имеет вид:

2.  
Одномерное
отображение вида:

[4], где (2)

Случайная
величина  подчиняется
нормальному распределению  ,
где,.

Бифуркационная
диаграмма для данного отображения имеет вид:

1. Для
отображения , где  при

Видно, что в
случае малого параметра связи () обе системы в один момент дискретного времени принимают
разные значения (точки, характеризующие состояние систем, распределены по
плоскости (y,z)), а следовательно не
существует функциональной зависимости между случайным процессом и состоянием
динамической системы.

С увеличением
параметра связи : точки
соответствующие состояниям систем, лежаться на диагональ y=z, что свидетельствует о
наличии синхронного поведения в системе.

3.
Для
отображения , где , при  получаем аналогичные результаты: при  синхронизации не наблюдается:

Но с
увеличением параметра связи ε=0.2 появляется функциональная зависимость, что
свидетельствует об установлении режима индуцированной шумом синхронизации.

С помощью
данной программы было найдено, что порог синхронизации индуцированной шумом:

-для первого
отображения

-для второго
отображения

Ляпуновские
экспоненты

Как уже было
упомянуто ранее, установление синхронной динамики двух систем с общим
источником шума возможно лишь в том случае, когда ляпуновские экспоненты
оказываются отрицательными.

Для
отображений ляпуновский показатель рассчитывается по формуле:

[5],

где F(x) – функция, задающая
отображение.

Для
рассматриваемых систем зависимость ляпуновской экспоненты от управляющего
параметра  имеет вид:

1. , где

2. , где

Видно, что
для логистического отображения (1) ляпуновская экспонента становится
отрицательной при e = 1.165, для отображения (2) – при e = 1.151.таким образом, результаты, полученные при помощи обоих
методов диагностики, оказываются приблизительно одинаковыми.


Выводы

Было изучено
явление индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем. Для
диагностики синхронного режима производилось непосредственное сравнение
векторов состояния идентичных систем, на которые воздействовал один и тот же
источник шума, а также производился расчет условных ляпуновских экспонент.
Рассмотрена взаимосвязь индуцированной шумом синхронизации с обобщенной
синхронизацией. Была создана программа, иллюстрирующая явление индуцированной
шумом синхронизации. С помощью этой программы рассмотрены два отображения.
Также для этих отображений получены зависимости ляпуновской экспоненты от
управляющего параметра. полученные результаты хорошо согласуются с результатами
работ [1-3].


список
литературы

1.
А.А.
Короновский, О.И. Москаленко, А.Е. Храмов “О механизмах, приводящих к
установлению режима обощенной синхронизации”, ЖТФ, 76, 2 (2006) 1-9.

2.
Raul Toral, Claudio R. Mirasso, E. Hernandez-Garcia and Oreste
Piro “Analytical and Numerical Studies of Noise-induced Synchronization of
Chaotic Systems”, CHAOS, 11, 3 (2001) 665-673.

3.
A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, O.I. Moskalenko “Are generalized synchronization
a noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of
chaotic oscillators”, Phys. Lett. A, 354, 5-6 (2006) 423-427.

4.
С.П.
Кузнецов Динамический хаос

5.
Amos Martian, Jayanth R. Banavar “Chaos, Noise, and Synchronization”,
Phys. Rev. letters, volume 72, number 10 (1994) 1451-1454


[1] Отображение взято из
работы
[1]

[2] Отображение взято из
работы
[2]

[3] Отображение взято из
работы
[1]

[4] Отображение взято из
работы
[2]

[5] Взято из [4]

Учебная работа. Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем