Загрузка...Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
«Интегрирование уравнений движения материальной точки,
находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонном
участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А,
где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном
участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).
Дано:
m = 4, кг
V0 = 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
L = 2.5, м
Fx = -8cos(4t), Н
определить:
Закон движения груза на
участке ВС ( x
= f(t) ).
Решение:
1. Пусть груз – материальная
точка. Изобразим и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное
уравнение в проекции на эту ось:
далее находим:
Учитывая, что Vx = V:
или
Выведем:
где g = 10 м/с.
Тогда:
Разделяя переменные и
интегрируя:
По Н.У. при x = 0: V = V0, откуда:
;
Получим:
;
Откуда:
и
В результате:
Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:
2. рассмотрим
движение на BC.
Рассмотрим движение ВС (V0 = V). Изобразим , ,
и .
или , где
При t=0; V = V0 = VB = 8.29 м/с:
С2 = VB = 8.29 м/с.
К-3
Вариант 18
авр
А
aA
Cv
авр
ac
ацс
Eoa
aцс C
aB
Woa
aB О В
Y
aB
X
Дано: ОА=10
АВ=10 АС=5 Woa=2 EOA=6
найти: Ускорения во
всех точках
Va=Woa*OA=20
Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45
Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20
Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2
aAbp=
Eoa*OA=60
aAцс=WOA2*OA=40
aB=
aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp
X: 21/2/2*aB=
aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*aB=
aABP +aABЦС
aABBP
=========== ==MOI===KOI0-U=140-40=100
EAB=100/10=10
aB=
aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp
aACвp
= EAB*АВ=50
aACЦС= WAВ2*АС=40
X: 21/2/2*ac=
aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*ac=
aABP +aABЦС
aC=(
acx2 +acy2)1/2
«Определение скорости и ускорения точки по
заданным уравнениям ее движения».
Задание: По заданным
уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и
для момента времени t = t1 (c) найти положение точки
на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так
же радиус кривизны траектории.
исходные данные:
Решение:
Для нахождения траектории
точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения,
предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:
— траектория точки в координатной форме.
траектория представляет
из себя окружность радиуса r=3 см.
Найдем проекции скорости
и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям
определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем модуль
касательного ускорения точки по формуле:
-выражает проекцию ускорения точки на направление ее
скорости. знак «+» при означает,
что движение точки ускоренное, направления и совпадают,
знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль нормального
ускорения точки: ; Т.к.
радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для
нахождения модуля нормального ускорения:
Когда найдено нормальное
ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из
выражения:
Результаты вычислений
занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):
Координаты (см)
Скорость (см/с)
ускорение (см/с2)
кривизны (см)
x
y
Vx
Vy
V
Wx
Wy
W
Wτ
Wn
2.5
5.6
-5.4
3.2
6.3
-12
-8.3
14.6
5.5
13.5
2.922
Найденный радиус кривизны
совпадает с определенным из уравнения траектории точки.
На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени
Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при
ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям
движения добавляется 3-е уравнение.
исходные данные:
Решение:
Определим
пространственную траекторию точки в координатной форме:
— траектория точки в координатной форме.
Найдем проекции скорости
и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям
определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем модуль
касательного ускорения точки по формуле:
-выражает проекцию ускорения точки на направление ее
скорости. знак «+» при означает,
что движение точки ускоренное, направления и совпадают,
знак «-» значит, что движение замедленное.
Когда найдено нормальное
ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из
выражения:
Результаты вычислений
занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):
Координаты (см)
Скорость (см/с)
ускорение (см/с2)
кривизны (см)
x
y
z
Vx
Vy
Vz
V
Wx
Wy
Wz
W
Wτ
Wn
2.5
5.6
3.5
-5.4
3.2
3.5
7.2
-12
-8.3
0
14.6
5.3
15.5
3.6
«Определение
реакций опор твердого тела».
Задание: найти
реакции опор конструкции.
Дано:
Q = 6, кН
G = 2, кН
a = 60, см
b = 40, см
c = 60, см
определить:
Реакции опор конструкции.
Решение:
К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .
Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно
составить 6 уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительно координатных осей:
Уравнения проекций сил на оси координат:
Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные
реакции.
Результаты вычислений заносим в таблицу:
Силы, кН
S
XA
YA
ZA
XB
ZB
1.15
-6.57
0.57
-1
-12.57
2
Проверка:
Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены
правильно.
В
18. Д – 1.
Дано: VA = 0, a
= 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. найти: h и t.
Решение: Рассмотрим
движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем
дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 : = G×sina
— F , (F = f×N = fG×cosa)
Þ = g×sina — fg×cosa,
дважды интегрируя
уравнение, получаем:
= g×(sina
— f×cosa)×t + C1 , x1 = g×(sina — f×cosa)×t2/2 + C1t + C2 ,
По начальным условиям
(при t
= 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С1
и С2 : C1 = 0 , C2 = 0,
Для определения VB и t используем условия: в
т.B (при t = t)
, x1 = ℓ , = VB . Решая систему уравнений находим:
x1 = ℓ = g×(sina — f×cosa)×t2/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×t2/2 , Þ t
= 0,99 c
,
= VB = g×(sina — f×cosa)×t VB = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,
рассмотрим движение камня
на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем
дифференциальные уравнения движения
в проекции на оси X , Y
: = 0 , = G ,
дважды интегрируем
уравнения: = С3 ,
= gt + C4 ,
x = C3t
+ C5 , y = gt2/2 + C4t + C6
,
Для определения С3
, C4 , C5 , C6 , используем начальные
условия (при t
= 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VB×cosa
, = VB×sina ,
Отсюда находим : = С3 , Þ C3 = VB×cosa , = C4 , Þ C4 = VB×sina
x0 = C5 , Þ C5 = 0 , y0 = C6 , Þ C6 = 0
Получаем уравнения : = VB×cosa
, = gt + VB×sina
x = VB×cosa×t , y
= gt2/2 + VB×sina×t
Исключаем параметр t : y = gx2 + x×tga ,
2V2B×cos2a
В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение VB и d , находим h: h = 9,81×32 + 3×tg30°
= 5,36 м ,
2×4,032×cos230°