Учебная работа. Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

«Интегрирование уравнений движения материальной точки,
находящейся под действием переменных сил»


Задание:     На наклонном
участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А,
где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном
участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).

Дано:

m = 4, кг

V0 = 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V2, Н

L = 2.5, м

Fx = -8cos(4t), Н

определить:

Закон движения груза на
участке ВС ( x
= f(t) ).

Решение:

1.      Пусть груз – материальная
точка. Изобразим  и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное
уравнение в проекции на эту ось:

далее находим:

Учитывая, что Vx = V:

 или


Выведем:

где g = 10 м/с.

Тогда:

Разделяя переменные и
интегрируя:

По Н.У. при x = 0:  V = V0, откуда:

;

Получим:

;

Откуда:

   и      

В результате:     

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:

2.      рассмотрим
движение на BC.

Рассмотрим движение ВС (V0 = V). Изобразим , ,
и .

 или , где

При t=0; V = V0 = VB = 8.29 м/с:

С2 = VB = 8.29 м/с.


К-3   
Вариант  18

                                            авр

                                                             
А

                                      aA                                                     
Cv

                                                                     авр

                                                             ac

                                             ацс

                       Eoa                                           
aцс                            C

aB

                Woa

 


aB                  О В

                                                                                                          
Y

 aB

 


X


Дано:       ОА=10  
АВ=10   АС=5    Woa=2    EOA=6

найти:     Ускорения во
всех точках

Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/21/2

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2

aAbp=
Eoa*OA=60

aAцс=WOA2*OA=40

aB=
aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp

X:      21/2/2*aB=
aAцс +aABBP

Y:      21/2/2*aB=
aABP +aABЦС

aABBP
===========  ==MOI===KOI0-U=140-40=100

EAB=100/10=10

aB=
aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp

aACвp
= EAB*АВ=50

aACЦС= WAВ2*АС=40

X:      21/2/2*ac=
aAцс +aABBP

Y:      21/2/2*ac=
aABP +aABЦС

aC=(
acx2 +acy2)1/2

 

«Определение скорости и ускорения точки по
заданным уравнениям ее движения».

Задание: По заданным
уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и

для момента времени t = t1 (c) найти положение точки
на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так
же радиус кривизны траектории.

исходные данные:


Решение:

Для нахождения траектории
точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения,
предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

— траектория точки в координатной форме.

траектория представляет
из себя окружность радиуса r=3 см.

Найдем проекции скорости
и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям
определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль
касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее
скорости. знак «+» при означает,
что движение точки ускоренное, направления и совпадают,
знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального
ускорения точки: ; Т.к.
радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для
нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное
ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из
выражения:

Результаты вычислений
занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):

Координаты (см)

Скорость (см/с)

ускорение (см/с2)

кривизны (см)

x

y

Vx

Vy

V

Wx

Wy

W

Wn

2.5

5.6

-5.4

3.2

6.3

-12

-8.3

14.6

5.5

13.5

2.922

Найденный радиус кривизны
совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени

Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при
ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям
движения добавляется 3-е уравнение.

исходные данные:


Решение:

Определим
пространственную траекторию точки в координатной форме:

 — траектория точки в координатной форме.

Найдем проекции скорости
и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям
определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль
касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее
скорости. знак «+» при означает,
что движение точки ускоренное, направления и совпадают,
знак «-» значит, что движение замедленное.

Когда найдено нормальное
ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из
выражения:

Результаты вычислений
занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):

Координаты (см)

Скорость (см/с)

ускорение (см/с2)

кривизны (см)

x

y

z

Vx

Vy

Vz

V

Wx

Wy

Wz

W

Wn

2.5

5.6

3.5

-5.4

3.2

3.5

7.2

-12

-8.3

0

14.6

5.3

15.5

3.6

«Определение
реакций опор твердого тела».

Задание:     найти
реакции опор конструкции.


Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно
составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

Уравнения проекций сил на оси координат:

Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные
реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Силы, кН

S

XA

YA

ZA

XB

ZB

1.15

-6.57

0.57

-1

-12.57

2

Проверка:

Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены
правильно.

В
18.                                                       Д – 1.

Дано:  VA = 0,   a
= 30°,   f = 0,1,  ℓ = 2 м,   d = 3 м.  найти: h и t.

Решение: Рассмотрим
движение камня на участке АВ. На него действуют  силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем
дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 :        = G×sina
— F ,   (F = f×N = fG×cosa) 
Þ       = g×sina — fg×cosa,

дважды интегрируя
уравнение, получаем:

= g×(sina
— f×cosa)×t + C1 ,   x1 = g×(sina — f×cosa)×t2/2 + C1t + C2 ,

По начальным условиям
(при  t
= 0  x10 = 0 и = VA = 0) находим С1
и С2 :  C1 = 0 ,  C2 = 0,

Для определения  VB и t  используем условия:  в
т.B  (при t = t)
,  x1 = ℓ  , = VB .      Решая систему уравнений находим:

x1 = ℓ = g×(sina — f×cosa)×t2/2         Þ            2 = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×t2/2 ,  Þ  t
= 0,99 c
,

= VB = g×(sina — f×cosa)×t         VB = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,

рассмотрим движение камня
на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем
дифференциальные уравнения движения

в проекции на оси X  , Y
:                             =  0 ,     = G  ,

дважды интегрируем
уравнения:  = С3  ,                
= gt + C4 ,

x = C3t
+ C5 ,          y = gt2/2 + C4t + C6
,

Для определения С3
, C4 , C5 , C6 ,  используем начальные
условия (при t
= 0):           x0 = 0 ,     y0 = 0 ,   = VB×cosa
,  = VB×sina ,

Отсюда находим : = С3 ,  Þ C3 = VB×cosa ,             = C4 , Þ  C4 = VB×sina

x0 = C5 ,  Þ C5 = 0  ,                         y0 = C6 ,  Þ  C6 = 0

Получаем уравнения : = VB×cosa
, = gt + VB×sina

x = VB×cosa×t  ,         y
= gt2/2 + VB×sina×t

Исключаем параметр t :   y =         gx2          + x×tga  ,

2V2B×cos2a

В точке  С   x = d = 3 м ,  у = h. Подставляя в уравнение VB и d ,  находим h:    h  =       9,81×32          + 3×tg30°
=  5,36 м   ,

2×4,032×cos230°

Учебная работа. Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил