Учебная работа. Анализ динамического поведения механической системы

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

анализ динамического поведения механической системы

Содержание:

аннотация

Исходные данные

1.      Применение
основных теорем динамики механической системы

1.1  Постановка
второй основной задачи динамики системы

1.2    Определение
закона движения системы

1.3    Определение
реакций внешних и внутренних связей

2. Построение
алгоритма вычислений

3.      Применение
принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.

3.1  Составление
дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа
Даламбера-Лагранжа.

анализ результатов

Аннотация

Дана
механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой
совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством
невесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система
снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело
системы действует сила сопротивления  и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и
скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание
нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и
аналитические методы теоретической механики, определен законвнутренних связей. Произведен численный анализ
полученного решения с использованием ЭВМ.


Исходные
данные:

m = 1 кг

r = 0.1 мс = 4000 H/м


часть 1. Применение
основных теорем динамики механической системы

1.1 Постановка
второй основной задачи динамики системы
.

Расчетная схема
представлена на рисунке 1.

здесь обозначено:

; ;  — силы
тяжести;

 — нормальная реакция опорной
плоскости;

 — сила
сцепления;

 — упругая реакция пружины;

 — реакция подшипников;

 — сила вязкого
сопротивления;

— возмущающая сила.

Рассматриваемая
механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение
катка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью
координаты S. Начало
отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс
груза (1).

Для
построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об
изменении кинетической энергии механической системы в форме:

 — сумма мощностей внешних
сил;

 — сумма мощностей внутренних
сил;

Тогда
кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,

(1.2)

(1.3)
Груз (1) совершает поступательное движение,  ;

(1.4)
Блок (2) совершает вращательное движение,  , где

(1.5)
Каток (3) совершает плоскопараллельное движение,  , где

Кинетическая
энергия всего механизма равна:

(1.6)
;

Выразим
— через скорость груза (1)

  

(1.7)
; ;

Подставляя
кинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:

(1.8)

(1.9)

;

Найдем
производную от кинетической энергии по времени:

(1.10)

Вычислим
сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному
произведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;

(1.11)

Рассматриваемая
нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему,
недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому
сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

(1.12)
= 0;

Будут
равняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости
которых равны нулю:

Сумма
мощностей остальных внешних сил:

(1.13)

С
учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:

(1.14)

где
приведенная сила.

Упругую
силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме
статического и динамического  удлинений:

(1.15)

Сила
вязкого сопротивления , тогда

(1.16)

В
состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, =0 и F(t)=0,
получаем условие равновесия системы:

(1.17)

Отсюда
статическое удлинение пружины равно:

Подставляя
(1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

(1.19)

Подставив
выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с
учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:

(1.20)

(1.21)

где
k циклическая
частота свободных колебаний;

n — показатель степени затухания
колебаний;

1.2
Определение закона движения системы

Проинтегрируем
дифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравнения
складывается из общего решения однородного уравнения  и частного
решения неоднородного :

S = + ;

Однородное
дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:

т.к.
n < k =>
решение однородного уравнения имеет вид:

 

где
 частное решение
дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

 далее получаем:

Сравнивая
коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева,
получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В

Решая
эту систему получаем следующие выражения:

 А = 0.04 м;

 В = — 0.008 м;

Общее
решение дифференциального уравнения:

постоянные
интегрирования определяем из начальных
условий, при t = 0 имеем:

Решая
эту систему получаем:

 

 

1.3   
Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой
задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы
отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью
теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества
движения.

Тело
№1:  

Тело
№2:

тело
№3:  

C учётом кинематических соотношений
(1.7) полученную систему уравнений преобразуем к вид:

 

Решая
эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:

2.     
Построение алгоритма вычислений
:

(2.1) исходные
данные:

(2.2) Вычисление констант:

 

 

 

 

(2.3)
Задание начального времени: t=0;

(2.4)
Вычисление значений функций в момент времени t=0;

(2.5) Вычисление реакций связей:

(2.6)
Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;

(2.7)
Определение значения времени на следующем шаге

(2.8)
Проверка условия окончания цикла:

(2.9)
Возврат к пункту (2.4).


3.
Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода

3.1
Применение принципа Даламбера-Лагранжа

Общее
уравнение динамике системы есть математическое выражение принципа
Даламбера-Лагранжа.

 

 сумма элементарных работ
всех инерции сил на возможном перемещении системы.

Изобразим
на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)

идеальные
связи:  

Не
учитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа
их реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.

Сообщим
системе возможное перемещение.

Вычисляя
последовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:

(2)

Найдём
возможную работу сил инерции:

 

Запишем
выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;

Используя
кинематические соотношения (1.7), определим:

теперь
возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

(3)

Далее
подставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем

Поделив
это уравнение на , получим дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний системы:

 


Анализ
результатов

В
данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической
системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики.
Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя
способами. Во всех случаях коэффициенты , n, k получились
одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их
правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной
механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость
и ускорение в зависимости от времени t. На
основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных
характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.

Учебная работа. Анализ динамического поведения механической системы