Загрузка...
Аналитическое решение краевых задач математической физики
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. академика С.П. королева
Факультет информатики
Кафедра технической кибернетики
Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе
по дисциплине «Уравнения математической физики»
Тема: «АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
Выполнил Самтеладзе Г. Н.
руководитель работы Дегтярев А.А.
Задание
Процесс распространения электромагнитной волны в однородной среде (волноводе) описывает следующим дифференциальным уравнением:
где — оператор Лапласа в радиально-симметричном случае;
— комплексная амплитуда напряженности электрического поля;
— длина электромагнитной волны; ; — показатель преломления среды; и — координаты цилиндрической системы.
Предполагается, что среда (волновод) ограничена идеально проводящей цилиндрической оболочкой радиуса и длины (в соответствии с рисунком 1).
Рисунок 1 — Распространение электромагнитной волны в волноводе кругового сечения
Распределение амплитуды на входе в волновод задается условием:
При проведении расчетов использовались следующие значения параметров:
Замечание. Приведенное дифференциальное уравнение называется уравнением Шредингера. Оно является уравнением параболического типа. При решении задачи целесообразно воспринимать переменную z как некоторое подобие временной координаты.
дифференциальный сходимость электромагнитный фурье
Реферат
Объектом исследования является процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.
Цель работы — изучить объект исследования, описанный дифференциальным уравнением.
В результате работы получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована его сходимость, получена оценка остатка, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью, кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.
Содержание
Введение
. Математическая постановка краевой задачи
. Аналитическое решение
. Исследование сходимости ряда аналитического решения
. Оценка остатка ряда
. Численный расчет решения
.1 Вычисление функций Бесселя
.2 Вычисление корней характеристического уравнения J0(μm)=0
.3 Численное интегрирование
. сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье
. анализ погрешности вычислений
. Результаты работы программы
Заключение
список использованных источников
Введение
Математическая физика изучает математические модели физических явлений. Она и её методы начали формироваться в XVIII веке при изучении колебаний струны и стержней, задач акустики, гидродинамики, аналитической механики. Идеи математической физики получили новое развитие в XIX веке в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами, теорией устойчивости движения.
Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений — уравнений математической физики, которые совместно с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов.
Основными классами таких задач являются эллиптические, гиперболические, параболические задачи и задача Коши.
Основными математическими средствами исследования задач математической физики служит теория дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, теорий функций и функциональных пространств, функциональный анализ, приближенные методы и вычислительная математика.
1. Математическая постановка краевой задачи
Из условия задачи известно, что волновод ограничен проводящей оболочкой, поэтому на стенке волновода будет соблюдаться следующее граничное условие первого рода:
Таким образом, дополнив заданное дифференциальное уравнение граничными условиями, получаем модель процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, которая будет выглядеть так:
(1.1)
2. Аналитическое решение
Для отыскания решения задачи используем метод Фурье. Будем полагать, что решение может быть представлено в виде произведения:
(2.1)
Введем обозначение , тогда дифференциальное уравнение из системы (1.1) запишется в виде:
Учтем в соотношении (2.1), а затем преобразуем его:
Уравнение, определяющее функцию :
Произведем серию выкладок, позволяющих упростить вычисление:
Уравнение, определяющее функцию :
Домножим это уравнение на r2V(r) и дополним его граничным условием, которое следует из граничного условия функции U(r,z):
(2.2)
таким образом, получаем уравнение Бесселя 0-го порядка.
Для того чтобы прийти к стандартному виду уравнения Бесселя введем новую переменную:
(2.3)
Продифференцируем (2.3) по r и получим:
(2.4)
Аналогично, продифференцировав (2.4) по r:
(2.5)
Подставим (2.3)-(2.5) в уравнение из (2.2) и получим для определения уравнение Бесселя 0-го порядка:
(2.6)
Подставим в (2.6) граничное условие:
— т.к. целый порядок (ограниченное решение)
пусть
Уравнение имеет бесконечное множество вещественных корней: то есть имеет бесконечное множество собственных значений: которым соответствуют собственные функции:
таким образом, получаем:
Решение предстанет в следующем виде:
(2.7)
Подставим в (2.7) начальное условие , в результате получим:
(2.8)
Отметим, что система собственных функций является ортогональной системой с весом r [1].
Из теоремы разложимости [1] находим коэффициент :
(2.9)
Правомерно следующее:
Таким образом, решение можно представить следующим рядом Фурье-Бесселя:
(2.10)
3. Исследование сходимости ряда аналитического решения
Найдём мажоранту для ряда:
При увеличении аргумента функции Бесселя:
(3.1)
Неравенство (3.1) подробно доказывается в пункте 4 на странице 11.
Получим ряд q>u,
4. Оценка остатка ряда
чтобы выяснить, как усечение ряда влияет на точность решения исходной задачи, необходимо найти оценку остатка ряда:
(4.1)
где
Получаем:
(4.2)
Учтем, что:
таким образом, достаточно оценить только
Для оценки данных коэффициентов необходимо рассчитать следующий интеграл:
(4.3)
Для расчета (4.3) воспользуемся формулой:
(4.4)
Имеет место следующее равенство [3]:
(4.5)
Рассмотрим выражение (4.4). Опустим в правой части на основании практических расчетов (см. таблицу 1). таким образом, (4.4) можно заменить следующим выражением:
Если то (4.5) принимает вид:
Таким образом, получаем следующее неравенство:
Неравенство проверено и подтверждено на практике (см. таблицу 1).
Таблица 1 — Cравнение интеграла и апроксимирующей формулы
Номер корняЗначение интегралаАпроксимирующая формулаПогрешностьОбщая погрешность11,9712921E-121,9712921E-123,2206E-213,2206E-2121,8533022E-121,8533022E-127,8209E-211,1041E-2031,6585267E-121,6585267E-123,3543E-211,4396E-2041,4127617E-121,4127617E-126,5427E-212,0938E-2051,1454716E-121,1454716E-121,6735E-203,7674E-2068,8403270E-138,8403273E-132,3703E-206,1376E-2076,4941282E-136,4941285E-132,6846E-208,8222E-2084,5408992E-134,5408994E-132,7249E-201,1547E-1993,0222564E-133,0222567E-132,6104E-201,4158E-19101,9146491E-131,9146494E-132,4235E-201,6581E-19111,1545573E-131,1545576E-132,2153E-201,8796E-19126,6268972E-146,6268992E-142,0113E-162,0808E-19133,6205400E-143,6205419E-141,8188E-202,2626E-19141,8828028E-141,8828044E-141,6461E-202,4273E-19159,3197568E-159,3197717E-151,4950E-202,5768E-19164,3910908E-154,3911045E-151,3626E-202,7130E-19171,9692821E-151,9692946E-151,2474E-202,8378E-19188,4064015E-168,4065159E-161,1438E-202,9521E-19193,4156740E-163,4157794E-161,0543E-203,0576E-19201,3209914E-161,3210888E-169,7378E-213,1549E-19214,8625244E-174,8634298E-179,0534E-213,2455E-19221,7033609E-171,7042045E-178,4359E-213,3298E-19235,6763262E-185,6841979E-187,8717E-213,4086E-19
таким образом, получаем:
(4.6)
Приближенная формула для нулей
Для
таким образом
(4.7)
Неравенство (4.7) проверено и подтверждено на практике.
Подставим это выражение в формулу (4.6) и получим:
(4.8)
Подставив (4.8) в (4.2), получим следующее выражение:
В итоге получаем оценку:
(4.9)
5. Численный расчет решения
.1 Вычисление функций Бесселя
Для вычисления значений функций Бесселя нулевого и первого порядков был использован алгоритм, позволяющий вычислить значение с точностью 10-7:
Для функции Бесселя нулевого порядка:
(5.1)
(5.2)
Для функции Бесселя первого порядка:
(5.3)
5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J0(μm)=0
Данное уравнение является трансцендентым и имеет бесконечное множество решений. Для нахождения этих корней воспользуемся методом секущих:
(5.5)
Для вычисления J0(μm) используется алгоритм, описанный в пункте 4.1. Данный метод обладает сверхлинейной скоростью сходимости. В качестве критерия останова используется условие в нашем случае то есть обеспечивается точность вычисления равная двоичной точности представления вещественных чисел в памяти компьютера. Таким образом, этой погрешностью можно пренебречь.
5.3 Численное интегрирование
поскольку интеграл не может быть вычислен аналитически, необходимо численно отыскать его значение. Для численного интегрирования использовались Квадратурная формула Гаусса-Кронрода, алгоритм вычисления взят из библиотеки ALGIB. использование этого метода обеспечивает относительную погрешность
6. сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье
Проведем сравнение теоретической оценки количества членов и оценки, полученной практическим путем. Результаты вынесем в таблицу 3.
Практическая оценка была рассчитана следующим образом: теоретическое значение оценки количества суммируемых членов уменьшалось и отслеживалось изменение разряда, на порядок меньшего обеспечиваемой погрешности.
Таблица 3 — сравнение теоретической и практической оценок кол-ва членов ряда Фурье
Eps<0,1<0,01<0,001<0,0001<0,00001<0,000001rzNт91316192123--Nпр19121619212300,0001Nпр216111418210,000010,0001Nпр317131517210,000010,0002
7. анализ погрешности вычислений
Помимо ошибок, возникающих при использовании численных методов, погрешность вычислений задается точностью представления действительного числа в памяти процессора ПК и составляет
Как видно из таблицы 3, для обеспечения погрешности, меньшей , при сложении необходимо суммировать 23 члена ряда. Погрешность при вычислении одного элемента ряда составляет менее . Соответственно, при сложении 23 членов ряда получаем следующую погрешность: Таким образом, общая погрешность составляет:
8. Результаты работы программы
Разработанная программа позволяет строить графики зависимости напряженности от одного из аргументов, при фиксации второго. Также можно изменять количество складываемых членов ряда и менять масштаб изображения.
Приведем несколько графических результатов расчетов поля в волноводе.
причем более интересным будет случай с фиксированием аргумента z:
рисунок 1 — Интенсивность волны при z=0
Рисунок 2 — Интенсивность волны при z= 0,00001
рисунок 3 — Интенсивность волны при z= 0,00002
Рисунок 4 — Интенсивность волны при z= 0,00003
кроме того возможно фиксирование аргумента r, в таком случае будут иметь место следующие графики зависимости интенсивности волны от z:
рисунок 5 — Интенсивность волны при r=0
Рисунок 6 — Интенсивность волны при r=0,000015
рисунок 7 — Интенсивность волны при r=0,00001
Заключение
Объектом исследования в данной курсовой работе являлся процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.
Вычисление амплитуды такой волны было произведено с достаточно малой погрешностью, а именно меньшей . В итоге пользователь в наглядном виде может наблюдать результаты работы программы, графически и аналитически реализующей решение данной задачи, а именно — кольца Ньютона.
В результате работы осуществлена математическая постановка краевой задачи для процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована сходимость найденного ряда, получена оценка остатка этого ряда, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью. кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.
список использованных источников
1.Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [текст]: учебное пособие для университетов/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. — М.: Наука, 1977.-735 с.
.Лаврентьев, М.А. методы теории функций комплексного переменного [Текст]/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — М.: Наука, 1973.-245 с.
.Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям [Текст]/ М. Абрамовиц, И. Стиган. — М.: Наука — 1979.-832 с.