Учебная работа № /3726. «Реферат Закон Пуассона

Выдержка из похожей работы

Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей,
Среди них нельзя не обратить внимание на труды Симеона Дени Пуассона ((1781-1840) — французский математик), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы, С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях,
Число наступлений определённого случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависят от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее, А испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим учёным в 1837 г,),
Этот закон можно также описывать как предельный случай биноминального распределения, когда вероятность p осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе p0 и m произведение mp стремится к некоторой положительной постоянной величине (т,е, mp),
Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий,
Распределение Пуассона в теории вероятностей

Функция и ряд распределения
Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p -> 0 (редкие события)),
Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:
где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию, Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход, Биномиальный закон распределения
Pm = Cnm · pm · (1 — p)n — m
может быть написан, если положить p = a/n, в виде
или
Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n, Произведение
весьма близко к единице, Это же относится к величине

очень близка к e-a, Отсюда получаем формулу:
число Эйлера (2,71…),
,

Для производящей функции величины имеем:
Интегральная функция вероятности распределения равна
Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен, Также можно отметить такие примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной длины, количество телефонных звонков в call-центре или количество обращений к веб-серверу за заданный период времени,
Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

хm

0

1

2

…

m

…

Pm

e-a

…

…

На рис, 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а,
Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т,е, что сумма всех вероятностей Рm равна единице,
Используем разложение функции ех в ряд Маклорена:
Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим
следовательно
Числовые характеристики положения о распределении Пуассона
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности,
По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:
Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:
Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х,
Кроме математического ожидания, положение случайной величины характеризуется модой и медианой,
Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение,
Для непрерывной величины модой называется точкой локального максимума функции плотности распределения вероятностей, Если многоугольник или кривая распределения имеют один максимум (рис, 2 а), то распределение называется унимодальным, при наличии более одного максимума — мультимодальным (в частности, распределение, имеющее две моды, называется бимодальным)»