Загрузка...Количество страниц учебной работы: 12
Учебная работа № /3330. «Реферат Метод итераций Пикара
Содержание:
Введение 2
1. Приближенные аналитические методы решения уравнений. 3
1.1.Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной. 3
1.2. Метод регулярного разложения по малому параметру. 4
1.3. Метод последовательных приближений (метод Пикара). 5
2. Применение метода Пикара 7
Вывод 11
Список литературы. 12
Форма заказа готовой работы
Выдержка из похожей работы
Такие итерационные формулы называются одношаговыми,
Существуют и двухшаговые, трёхшаговые и т,д, итерационные формулы, которые определяются соответственно формулами:
— двухшаговая формула (7)
— трёхшаговые формула (8)
и т,д,
После построения итерационной формулы (2) возникают вопросы:
а) сколько нужно считать последовательных приближений , т,е, когда остановиться?
б) сходится ли последовательность приближений к корню ?
Ответы на эти вопросы нужно давать всегда, когда имеем дело с методом последовательных приближений Пикара, На вопросы отвечают следующим образом:
а) задаётся точность вычислений и итерационный процесс останавливают, как только достигается соответствующая абсолютная погрешность, т,е, как только выполняется условие:
(9)
б) нужно соответствующим образом строить формулы (2), используя соответствующие теоремы о достаточном условии сходимости, В частности теорему Банаха о сжатых отображениях,
Определение: Пусть M — метрическое пространство с метрикой , Оператор A, отображающий это пространство в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любой пары элементов имеет место неравенство:
(10)
Т,о, сжимающий оператор сжимает расстояние между элементами и , т,е, расстояние между образами элементов меньше или равно расстоянию между их прообразами и , Для таких отображений используется теорема Банаха, Теорема Банаха: Пусть A — сжимающий оператор в полном метрическом пространстве M, тогда уравнение
(11)
имеет в этом пространстве одно и только одно решение, т,е, существует ровно один элемент , для которого выполняется уравнение , Этот элемент может быть получен как предел последовательности элементов
(12)
где , причём элемент может быть выбран произвольно, Эта теорема применима и для случая, когда оператор — является функцией, т,е, для формулы (2), а также для построения сходящихся итерационных формул Ритца-Якоби в случае линейных систем алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей (определитель близок к нулю) коэффициентов, для дифференциальных и интегральных операторов и т,д, Для итерационной формулы (2), применяя формулу Лагранжа о конечных приращениях, получаем, что для имеет место соотношение:
(13)
что со своей стороны можно переписать в виде
(14)
если Чебышевская норма функций , т,е, если
(15)
В таком случае отображение из (2) является сжимающим и, соответственно, для неё имеет место теорема Банаха,Т»