5661.Учебная работа .Тема:Прямые и плоскости в координатах

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Тема:Прямые и плоскости в координатах»,»

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В КООРДИНАТАХ

Е. ПОТОСКУЕВ

г. Тольятти

Введение

В данной статье ведется разговор о применении координатного метода при изучении стереометрии в 1011х классах, о его роли в повышении и развитии математической культуры учащихся общеобразовательной и профильной школы будущих студентов вузов физикоматематической и естественнонаучной направленности.

Заметим, что решение многих стереометрических задач координатным методом значительно проще их решения средствами элементарной геометрии, при этом можно обойтись без дополнительных построений, которые становятся необходимыми при иных методах решения. Кроме того, применение координатного метода при решении геометрических задач способствует поиску интересных обобщений, которые могут возникнуть при анализе полученных решений.

В данной статье показывается, как с помощью координатного метода можно эффективно решать многие метрические задачи стереометрии, в том числе задачи, которые предлагаются и, по всей вероятности, будут предлагаться в ЕГЭ.

Для решения задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, на вычисление расстояний и углов между ними используется следующий учебный материал:

Ах + Ву + Cz + D = 0 общее уравнение плоскости, где вектор является вектором ее нормали;

А(х х0) + В(у у0) + C(z z0) = 0 уравнении плоскости, проходящей через точку (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору

x = x0 + a1t, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (х0; у0; z0) параллельно вектору

Также используются формулы:

) длина вектора

) длина вектора или расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B( x2; y2; z2);

) расстояние от точки М(х0; у0; z0) до плоскости b: Ах + Вy + Cz + D = 0;

) скалярное произведение векторов

) x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 Û признак перпендикулярности векторов и

) угол j между векторами и находится с помощью формулы

Расстояния в пространстве

Расстояние от точки до прямой

Координатным методом эту задачу можно решать таким образом. Составить уравнение плоскости a, проходящей через точку А перпендикулярно данной прямой m. Затем решить систему, состоящую из этого уравнения и уравнений прямой m. Решением этой системы являются координаты точки K = a ? m. Тогда расстояние между точками А и K равно искомому расстоянию от точки А до прямой m. Продемонстрируем сказанное на решении следующей задачи.

Задача. Найдите расстояние от точки А(7; 9; 7) до прямой m, заданной уравнениями: x = 2 + 4t, y = 1 + 3t, z = 2t.

Решение. Так как a m, то направляющий вектор прямой m является вектором нормали для плоскости a, проходящей через точку А(7; 9; 7). Значит, уравнение этой плоскости имеет вид:

(х 7) + 3(у 9) + 2(z 7) = 0 Û 4х + 3у + 2z 69 = 0.

Далее находим координаты точки K = a ? m, решая систему уравнений

После подстановки в первое уравнение системы вместо x, y, z их выражения через t получаем: 4(2 + 4t) + 3(1 + 3t) +2 ? 2t = 69, откуда Найдем координаты точки K: х = 2 + 4 ? 2 = 10; у = 1 + 3 ? 2 = 7; z = 2 ? 2 = 4. Значит, искомое расстояние от точки А до прямой m.

Ответ:

Задача 1. АD1 единичный куб. Найдите расстояние:

а) от точки А1 до прямой В1D;

б) от точки В до прямой А1С;

в) от точки А1 до прямой D1В;

г) от точки С до прямой D1В.

Решение. а) Введем систему координат Охуz так, что В(1; 1; 0), А1(1; 0; 1), С1(0; 1; 1), D(0; 0; 0), В1(1; 1; 1).

С помощью теоремы о трех перпендикулярах докажем, что В1D (А1ВС1). Обозначим Т = В1D ? (А1ВС1) и найдем координаты точки Т.

Вектор является направляющим для прямой В1D и вектором нормали для плоскости А1ВС1. Поэтому прямая В1D может быть задана системой параметрических уравнений х = t, y = t, z = t, а плоскость А1ВС1 уравнением:

(х 1) + (у 1) + (z 0) = 0 ? х + y + z 2 = 0.

Решая систему, составленную из уравнений прямой В1D и плоскости А1ВС1, находим:

t + t + t 2 = 0 Þ

откуда точка Т имеет координаты Тогда

Это означает, что

Аналогично решаются другие задачи.

Ответ: а) б) в) г)

Задача 2. AF1 правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой СD1.

Решение. Составим уравнение плоскости b, проходящей через точку В перпендикулярно прямой СD1.

Во введенной системе координат точки В, С и D1 имеют координаты:

С(0; 1; 0),

В качестве вектора нормали плоскости b примем вектор

Тогда плоскость b задается уравнением:

Û

Обозначим Т = b Ж СD1, тогда ВТ = r(В; D1; C). Координаты точки Т найдем, решив систему, составленную из уравнений плоскости b и прямой CD1:

t Î R.

Получаем:

Û 8t 1 = 0 Û

Отсюда координаты точки T: Тогда

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что D(1; 0; 0), C1(0; 0; 1), B(0; 1; 0), C(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние до прямой AC1 от точки:

а) A1; б) B1; в) C.

4. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А, В, F, F1 имеют координаты: F(0; 1; 0), F1(0; 1; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите расстояние от вершины В до прямой:

а) E1F; б) D1F1; в) С1D1; г) АD1.

Ответы: 3. а) б) в) 4. а) б) в) г)

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки М(х0; у0; z0) до плоскости b: Ах + Вy + Cz + D = 0, находится по формуле

Задача 5. Куб AD1 в системе координат Oxyz расположен так, что A(1; 0; 0), B1(1; 1; 1), C(0; 1; 0), D(0; 0; 0). Постройте изображение этого куба и координатным методом найдите отношение, в котором плоскость А1ВС1 делит диагональ В1D куба, считая от вершины В1.

Решение. На рисунке изображен данный куб относительно системы координат Охуz. Остальные вершины куба имеют координаты: B(1; 1; 0), B1(1; 1; 1), А1(1; 0; 1), С1(0; 1; 1), D1(0; 0; 1). Теперь рассмотрим решение задачи.

Обозначим b = (A11). Плоскость А1ВС1 задается уравнением х + y + z 2 = 0 (см. задачу 1). Тогда

Значит,

Можно иначе решить эту задачу.

Пусть Т = b ? В1D. Решая систему уравнений

t Î R,

составленную из уравнений прямой СD1 и плоскости b, находим: (см. задачу 1).

Тогда

поэтому

Ответ: 1 : 2.

Задача 6. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В, C, D, C1 имеют координаты: С(0; 1; 0), С1(0; 1; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите расстояние до плоскости AF1D от точек:

а) F; б) В1.

Решение. а) Если плоскость b: ах + by + cz + d = 0, проходит через данную точку М(х0; у0; z0), то верно равенство ах0 + by0 + cz0 + d = 0. Воспользуемся этим утверждением при составлении уравнения плоскости b = (AF1D).

Пусть ах + by + cz + d = 0 искомое уравнение плоскости b. На рисунке изображена данная призма относительно системы координат Охуz. В этой системе координат имеем: F(0; 1; 0), F1(0; 1; 1),

Плоскость b = (AF1D) проходит через начало координат, значит, d = 0. Далее имеем:

Þ

Решая систему из уравнений, находим: Полагая получаем: b = c = 3, и уравнение плоскости b имеет вид:

Û

Теперь находим искомые расстояния r(F; b) и r(В1; b):

Замечание. При нахождении расстояния от точки до плоскости координатным методом не требуются аргументированные обоснования построения перпендикуляра из данной точки на данную плоскость. Но если FK B (AF1D) («виртуально»), K Î (AF1D) (см. рис. 4), то FK = r (F; b). На этом рисунке перпендикуляр из вершины В1 на плоскость AF1D не изображен.

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что C(1; 0; 0), B1(0; 0; 1), A(0; 1; 0), B(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние до плоскости А1BC1 от точки:

а) B1; б) C; в) D1; г) D.

8. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В, C, D, C1 имеют координаты: С(0; 1; 0), С1(0; 1; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите:

а) расстояние от вершины А1 до плоскости ВСС1;

б) от вершин А1 и D1 до плоскости АС1Е1;

в) от вершин В и F1 до плоскости АВ1D.

Ответы: 7. а) б) в) г) 8. а) б) в) и

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Используем следующий факт: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точкой одной прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

Задача 9. Единичный куб AD1 изображен в системе координат Oxyz. Найдите расстояние между прямыми, где М середина ребра АВ:

а) AB1 и A1C1; б) BD1 и B1C; в) BD и В1М.

Решение. Из рисунка 5 следует: точка D(0; 0; 0) начало координат, точки A(1; 0; 0) и C(0; 1; 0) на осях Ох и Оу соответственно; остальные вершины имеют координаты: B(1; 1; 0), А1(1; 0; 1), С1(0; 1; 1), D1(0; 0; 1), В1(1; 1; 1).

а) Найдем расстояние r(АВ1; А1С1). Для этого составим уравнение плоскости a, проходящей через прямую АВ1 параллельно прямой А1С1.

Векторы и направляющие для прямых AB1 и A1C1 соответственно. Тогда эти прямые задаются соответственно уравнениями:

t Î R и t Î R.

Вектор вектор нормали плоскости a перпендикулярен векторам и Найдем координаты этого вектора. Имеем:

Þ ??Þ ?Þ a = b = c.

Пусть, не нарушая общности, c = 1, тогда a = b = 1. Имеем: Получаем уравнение плоскости a (?Î a) в виде:

? (х 1) + 1 ? (y 0) 1 ? (z 0) = 0 Û x + y z 1 = 0.

Теперь находим:

Аналогично находятся расстояния

и

Задача 10. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, изображена в системе координат Oxyz. Найдите расстояние между прямыми:

а) B1C и A1B; б) B1C и 1.

Решение. а) Найдем расстояние между прямыми B1C и A1B.

Во введенной системе координат Оxyz имеем:

C(0; 1; 0),

Для нахождения искомого расстояния составим уравнение плоскости a, проходящей через прямую B1C параллельно прямой A1B.

Вектор вектор нормали плоскости a перпендикулярен направляющим векторам и прямых B1C и A1B. Найдем его координаты.

Имеем:

Þ ? Þ ? Þ

Полагая получаем и плоскость a (? Î a) имеет уравнение:

Û

Теперь находим:

б) Для нахождения расстояния r(BE1; B1C) составим уравнение плоскости b, проходящей через прямую B1C параллельно прямой 1.

Во введенной системе координат точка E (см. рис.) имеет координаты а вектор координаты

Вектор вектор нормали плоскости b перпендикулярен направляющим векторам и прямых B1C и 1 соответственно. Найдем его координаты. Имеем:

Þ Þ ?Þ ?Þ

Полагая получаем: Тогда плоскость b, проходящая через точку C(0; 1; 0) перпендикулярно вектору имеет уравнение:

Û

Теперь находим:

Ответ: б)

В заключение этого раздела рассмотрим решение следующей задачи геометрическим методом и методом координат.

Задача 11. Точка K середина ребра ВС куба AD1, ребро которого равно 8. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник АСМ, где М точка прямой С1K?

Решение. а) Геометрический метод. Площадь треугольника АСМ с постоянным основанием АС достигает минимального значения при минимальной высоте МР (Р Î AC), проведенной из точки М Î 1 на АС. Это означает, что отрезок МР кратчайшее расстояние между прямыми АС и С1K, то есть МР общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АС и С1K (см. рис.).

Найдем длину МР. Для этого проведем плоскость a = (BDD1). Она перпендикулярна прямой АС (почему?) и плоскости АСС1 (почему?), причем (BDD1) ? АС = О = АС ? ВD, (BDD1) ? (АСС1) = ОО1, где ОО1 (АВС) (почему?).

Спроектируем на плоскость a прямую С1K, для чего проведем прямую АС, ? Î ВD. Получаем: О1Т ортогональная проекция прямой С1K на плоскость a. Тогда r(; С1K) = ?(О; О1Т) = ОН, где ОН высота прямоугольного треугольника ОО1Т.

Тогда Так как АС, K середина ВС, то Т середина ОВ (по теореме Фалеса), откуда Учитывая, что ОО1 = АА1 = 8, находим

Значит,

Проведем НМ АС, М Î 1 и МР ОН, Р Î АС. Тогда МР = ОН, МР АС, значит, МР высота треугольника АСМ. Тогда минимальная площадь треугольника АСМ равна

Ответ:

б) Координатный метод. Пусть треугольник АСМ искомый, то есть имеет наименьшую площадь; длина его высоты МР равна длине общего перпендикуляра скрещивающихся прямых АС и С1K и равна расстоянию от любой точки прямой АС до плоскости a, проходящей через прямую С1K параллельно прямой АС. Для нахождения этого расстояния составим уравнение плоскости a.

Введем систему координат (см. рис.).

Имеем: А(8; 0; 0), С(0; 8; 0), K(4; 8; 0), С1(0; 8; 8).

Вектор вектор нормали плоскости a перпендикулярен направляющим векторам прямых АC и С1K соответственно.

Найдем его координаты. Имеем:

?Þ ?Þ ?Þ

Полагая с = 1, получаем: Тогда плоскость ? определяется своим вектором нормали и точкой С1. Ее уравнение имеет вид:

(х 0) + 2(у 8) + (z 8) = 0 Û 2х + 2у + z 24= 0.

Значит,

Учитывая, что находим (в кв. ед.):

Ответ: кв. ед.

Замечание. Анализируя сравнительные решения этой задачи синтетическим (геометрическим) и координатным методами, можно увидеть простоту ее решения координатным методом.

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1; 0), A(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние между прямыми, где М середина ребра АD:

а) A1C1 и B1С; б) АС1 и B1C; в) BD и А1M.

13. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А1, B, C, B1 имеют координаты: C(0; 1; 0), Постройте эту призму и найдите координатным методом расстояние между прямыми:

а) А1В и С1D; б) А1В и Е1F; в) А1В и АF1; г) А1В и В1D.

Ответы: 12. а) б) в) 13. а) б) в) г)

Углы в пространстве

Угол между двумя прямыми

стереометрия пространство прямая плоскость

Если прямые a и b, имеющие направляющие векторы соответственно и проходят соответственно через точки M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2), то эти прямые задаются параметрическими уравнениями соответственно:

а: x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t,

b: x = x2 + b1t, y = y2 + b2t, z = z2 + b3t, t ? R.

Обозначив j = F (a; b), получим либо j = y , либо j + y = 180°. Учитывая, что j Î [0; 90°], получаем cos j = | cos y |. Это означает, что косинус угла между прямыми можно найди с помощью формулы или в координатном виде:

Задача 14. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что В(0; 0; 1), A(1; 0; 1), C(0; 1; 1), D1(1; 1; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите угол между прямыми:

а) A1B и AC; б) D1B и B1C; в) AC1 и D1B.

Решение. На рисунке изображен данный куб в системе координат Охуz: точка B1(0; 0; 0) начало координат, точки A1(1; 0; 0) и C1(0; 1; 0) лежат на осях Ох и Оу соответственно. Точки A1, D, C1, B1 имеют координаты: A1(1; 0; 0), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0), B1(0; 0; 0).

а) Найдем угол j = F (A1B; AC).

Направляющими векторами прямых A1B и AC являются векторы и соответственно. Тогда:

Þ j = 60°.

в) Обозначим a = ? (AC1; D1B).

Направляющими векторами прямых AC1 и D1B являются векторы и соответственно. Тогда:

Þ

Аналогично находится угол между прямыми D1B и B1C.

Ответ: а) 60°; б) 90°; в)

Задача 15. AF1 правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми ВA1 и СВ1.

Решение. Найдем F (ВA1; СВ1) = j.

Введем систему координат Охуz, где C(0; 1; 0), и Находим:

Þ

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что D(1; 0; 0), C1(0; 0; 1), B(0; 1; 0), C(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите угол между прямыми:

а) A1B и AC; б) D1B и B1C; в) AC1 и D1B.

17. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины A, F , F1, B1 имеют координаты: F(0; 1; 0), F1(0; 1; 1), Постройте эту призму и координатным методом найдите величину угла между прямыми:

а) AB1 и CF1; б) АВ и СD1; в) AF1 и A1B.

Ответы: 16. а) 60°; б) 90°; в) 17. а) б) в)

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой l : и плоскостью a: Ax + By + Cz + D = 0, можно найти, используя угол между направляющим вектором прямой l и вектором нормали плоскости a (см. рис.):

Задача 18. Куб AD1 расположен в системе координат Oxyz так, что его вершины D, А1, С1, D1 имеют координаты: D(0; 0; 0), А1(1; 0; 1), С1(0; 1; 1), D1(0; 0; 1). Постройте изображение этого куба и координатным методом найдите синус угла между прямой и плоскостью:

а) D1C1 и A1BD; б) A1B и AB1C; в) B1D1 и AB1C; г) A1B и BC1D.

Решение. а) Найдем sin j, где j = ? (D1C1; (A1BD)).

В системе координат Oxyz (см. рис.) вершины куба имеют координаты: A(1; 0; 0), B1(1; 1; 1), C(0; 1; 0), B(1; 1; 0). В качестве направляющего вектора прямой D1C1 примем вектор , в качестве вектора нормали плоскости a = (A1BD) вектор перпендикулярный векторам и

Найдем координаты вектора Имеем:

Þ Þ Þ a = b = c.

Полагая a = 1, получим: b = c = 1, то есть , и

Замечание. Можно доказать, что АС1 (A1BD). Тогда в качестве вектора нормали для плоскости A1BD можно принять вектор

Аналогично решаются и другие задачи.

Ответ: а) б) в) г)

Задача 19. В правильной шестиугольной призме AF1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВD1 и плоскостью BF1С.

Сначала рассмотрим решение этой задачи геометрическим методом, аргументируя шаги построений и доказательства утверждений, возникающих в процессе ее решения.

Решение. Геометрический метод. Обозначим: ? (ВD1; (BF1С))= a. На рисунке построены точки Q = ВС ? ЕD, K = E1F1 ? C1D1, принадлежащие плоскости BF1С, и точка R = DD1 ? E1Q = (BF1С) ? DD1. Треугольник E1D1K правильный, так как ? KE1D1 = ? KD1E1 = 60° (почему?); его стороны равны 1(почему?).

Пусть точка Т середина E1K, тогда D1Т E1K (как медиана правильного треугольника E1D1K, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах RT E1K, значит, E1K (RD1Т) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и плоскости BF1С и RD1Т перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Это означает, что перпендикуляр D1О, проведенный из D1 на плоскость BF1С, расположен в плоскости RD1Т, причем О Î = (BF1С) ? (RD1Т). Поэтому прямая ОВ проекция ВD1 на плоскость BF1С и ? ОВD1 = ? (ВD1; (BF1С)) = a. Найдем величину этого угла.

Отрезок D1О высота прямоугольного треугольника RD1Т с катетами и RD1= 0,5D1D = 0,5 (точка R середина ребра DD1). Значит,

В прямоугольном треугольнике ВD1D находим:

Тогда в прямоугольном треугольнике ОВD1 с катетом и гипотенузой ВD1 = 2 находим:

Теперь рассмотрим решение этой задачи координатным методом.

Координатный метод. Обозначим ? (ВD1; (BF1С)) = a.

Во введенной системе координат (см. рис.) точки B, С, F1, D1 имеют координаты: С(0; 1; 0), F1(0; 1; 1),

Направляющим вектором прямой D1B является

Найдем координаты вектора нормали плоскости b = (BF1С), для чего составим ее уравнение.

Пусть ах + by + cz + d = 0 искомое уравнение плоскости b = (BF1С). Имеем:

Þ

Решением последней системы является: b = 3, c = 6, d = 3. То есть вектор нормали плоскости b имеет координаты Тогда

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что C(1; 0; 0), B1(0; 0; 1), A(0; 1; 0), B(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите синус угла между прямой и плоскостью:

а) BC и (AB1D1); б) A1B и (AB1C); в) B1D1 и (AB1C); г) A1B и (BC1D).

21. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины B, С, D, D1 имеют координаты: С(0; 1; 0), Постройте эту призму и координатным методом найдите синус угла между:

а) прямой В1Е и плоскостью 1С;

б) прямой АВ и плоскостью BF1С;

в) прямой ВD1 и плоскостью BF1С;

г) прямой А1В и плоскостью ВВ1С.

Ответы: 20. а) б) в) г) 21. а) б) в) г)

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями a и b, заданными уравнениями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и А2x + B2y + C2z + D2 = 0 соответственно, удобно связать с углом между их векторами нормали и (см. рис.). Именно,

Задача 22. В системе координат Oxyz куб AD1 расположен так, что A(1; 0; 0), B(0; 0; 0), C(0; 1; 0), D1(1; 1; 1). Постройте этот куб. Найдите угол между плоскостями:

а) AB1C и ABC1; б) AB1C и A1BC1; в) D1AC и B1AC.

Решение. а) Из условия следует, что точка B(0; 0; 0) начало координат, точки A(1; 0; 0) и C(0; 1; 0) лежат на осях Ох и Оу соответственно. Тогда точки В1, А1, С1, D приобретают координаты: B1(0; 0; 1), A1(1; 0; 1), C1(0; 1; 1), D(1; 1; 0). На рисунке изображен куб относительно системы координат Охуz.

Найдем угол y между плоскостями a = (AB1C) и b = (ABC1). Пусть плоскость a = (AB1C) имеет уравнение:

аx + by + cz + d = 0.

Так как плоскость ? проходит через точки A, B и C1, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению этой плоскости, поэтому числа a, b, c и d являются решением системы уравнений:

Û

Полагая d = 1, получаем уравнение плоскости

a = (AB1C): х + у + z 1= 0.

Значит, вектор нормали этой плоскости имеет координаты

В качестве вектора нормали плоскости b = (ABС1) примем вектор перпендикулярный векторам и

Найдем координаты вектора Имеем:

?Þ ?Þ ?Þ

Полагая c1 = 1, получаем: Тогда:

Þ Þ a B b = y = 90°.

Аналогично находятся углы между плоскостями в пунктах «б» и «в».

Ответ: а) 90°; б) в)

. В правильной шестиугольной призме AF1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостями А1ВС и АВ1F.

Сначала рассмотрим решение этой задачи геометрическим методом, аргументируя шаги построений и доказательства утверждений, возникающих в процессе ее решения.

Решение. Обозначим: ? ((А1ВС); (АВ1F)) = b; Р = В1Е1 ? А1D1; K = АВ1 ? А1В. Тогда (А1ВС) ? (АВ1F) = ребро двугранного угла, образованного плоскостями А1ВС и АВ1F (см. рис.). Найдем sin b.

Имеем: точка Р середина диагоналей В1Е1 и А1D1, равных 2, поэтому А1Р = В1Р =1.

Аналогично, точка K середина диагоналей А1В и АВ1, равных поэтому Тогда треугольники А1РK и В1РK равны, следовательно, А1Т = В1Т, где А1Т и В1Т высоты этих треугольников, проведенные к их общей стороне РK. Это означает, что F ((А1ВС); (АВ1F)) = F А1ТВ1= b. Найдем sin b.

Замечаем, что отрезок РK средняя линия треугольника АВ1Е1, поэтому РK = 0,5АЕ1.

В прямоугольном треугольнике АЕ1Е с катетами и Е1Е =1 находим:

значит, РK = 1.

Если = х, то РТ = 1 х, тогда на основании А1K2 2 = А1Р2 РТ2 получаем: 0,5 х2 = 1 (1 2х + х2), откуда х = 0,25 = ТK. Значит,

Далее, пусть точка H середина А1В1. Тогда в равнобедренном треугольнике А1В1Т: при этом

Тогда

Теперь рассмотрим решение этой же задачи координатным способом.

Обозначим ? (a; b) = j. Найдем координаты векторов нормалей плоскостей a = (А1ВС) и b = (АВ1F).

Во введенной системе координат Oxyz (см. рис.) точки А1, В, С, А, В1, F имеют координаты:

С(0; 1; 0), F(0; 1; 0).

Вектор нормали плоскости a перпендикулярен векторам и Координаты вектора найдем из условия его перпендикулярности векторам и Имеем:

Û Û

Полагая получим: b = c = 3. Таким образом,

Аналогично, вектор нормали плоскости b перпендикулярен векторам и Поэтому координаты а1, b1 и c1 найдем, решая систему уравнений:

Û

Полагая получим: b1 = 3, c1 = 3. Таким образом, Тогда:

Þ

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб AD1 так, что A1(1; 0; 0), B(1; 1; 1), D(0; 1; 0), D1(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите угол между плоскостями:

а) (AB1C) и (ABC1); б) (AB1C) и (A1BC1); в) (D1AC) и (B1AC).

25. Правильная шестиугольная призма AF1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А1, B, C, D имеют координаты: C(0; 1; 0), Постройте эту призму и координатным методом найдите синус угла между плоскостью ABC и плоскостями:

а) (1F); б) (1D1); в) (ВС1D); г) (А1СЕ1); д) (ВFD1).

Ответы: 24. а) 90°; б) в) 25. а) б) в) г) д)

Литература

1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. М.: Дрофа, 2011.

2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. М.: Дрофа, 2011.

. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: уч. пособие. М.: Дрофа, 2008. (Элективные курсы).