5633.Учебная работа .Тема:Две замечательные теоремы планиметрии

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Тема:Две замечательные теоремы планиметрии»,»

Две замечательные теоремы планиметрии.

Мендель В.В. , доцент кафедры геометрии ХГПУ

В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.

Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.

Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:

 1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;

 2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;

 3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;

 В

 С1 А1

 В1

А С

рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)

4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.

 Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы.

 К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.

 Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач.

Формулировки теорем Чевы и Менелая.

 В

А С В1

 А1

 С1

рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)

 Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.

Теорема Менелая.

 Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

 (*)

на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.

Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*).

 Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).

Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2)

 

 В

 Н1

 Н2

 С1

 А1 Н3

 А С В1

рисунок 2

Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.

(У первых двух пар равны верти

кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий:

; ; .

 Легко заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*).

 Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какойто точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство:  в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В:

.

 Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин).

 Доказательство для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично.

Теорема Чевы.

 Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

 (**)

 На рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС.

 В

 С1

 А1

 О

 А

 В1

 С

рисунок 3 а)

Доказательство: (прямая теорема)

 Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С):  (1)

проделаем тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А):

  (2)

 В

А В1 С

 О

 С1 А1

рисунок 3 б)

 Перемножив левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**).

 Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая.

Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая

для решения задач.

 Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.

 Итак, в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы если в условиях задачи:

1) идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);

2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

 Конечно есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений.

 Заметим также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какието точки лежат на одной прямой).

Примеры решения задач.

 Начнем с достаточно простых.

1. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (Kточка пересечения АМ и ВN).

Решение:

SMKNC=SBNCSBKM. Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S). Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC.

Второе отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.

 Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А:

Второе и третье отношения нам известны, подставим их:

 и  

Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:

,

 зная площадь треугольника NВС (S) находим площадь треугольника ВKМ:

Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNCSBKM=SS=S.

Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции.

2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.

 Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 1011 классов.

3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и

 М

 В

 

 

 L Q С

Похожие работы

Элементы планиметрии
Цель предлагаемого задания – повторить материал по планиметрии для дальнейшего его использования при решении задач по стереометрии, а также…
…формулы и замечательные теоремы , связанные с геометрией треугольника. Во втором блоке собраны задачи.
Новые информационные технологии обучения в математике
…стремятся не раздувать чрезмерно количество теорем , формулируя множество необходимых утверждений в виде задач. В “ Планиметрии ” количество теории…
“ Замечательные точки треугольника”. Цель урока: ”Дать наглядное представление о свойствах медиан…
Комплексные числа в планиметрии
Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по…
Рассмотрим одну замечательную пару окружностей. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к…
Описанные и вписанные окружности
В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от…
Учащаяся умело применила аппарат алгебры и тригонометрии, знание формул планиметрии в ходе решения задач повышенной трудности…
Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии
Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигуры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре.
Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по…
Прямая Эйлера
В стереометрии простейший многогранник – тетраэдр играет ту же роль, что и треугольник в планиметрии .
…бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E. Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки.

Нужна качественная работа без плагиата?

Благотворительность

Загружая свои работы, Вы помогаете не только студентам, но и людям, которым Ваша помощь действительно нужна. Чем именно это помогает? Читать дальше….. >

«Библиофонд» — Электронная библиотека: статей, учебной и художественной литературы. Рефераты и курсовые, отчеты по практике и контрольные. Дипломные работы и другие творческие, аналитические работы. Наш проект для тех кому интересно, для тех кто учится и для тех кто действительно нуждается!
Page Weight

Оптимизировано с
помощью сервисов Page Weight