5632.Учебная работа .Тема:Вопросы к гос. экзамену по дисциплине «Математика – Алгебра»

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Тема:Вопросы к гос. экзамену по дисциплине «»Математика – Алгебра»»»,»

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимнооднозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,…,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

еслинечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)четная; 2) sgn (t 1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1° . |A|=|At|,где Аt трансионированная;

2° . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3° . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4° . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5° . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6° . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7° . Если iстрока (столбец) матрицы имеет вид i(a1+…ak b1+…bk c1+….ck),то определитель такой матрицы равен сумме Kопределителей,каждый из которых в iстроке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8° . Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием iстроки и jстолбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +….+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +…+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11…a1n

|A|= a21…a2n = ann Mnn

………

0……ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2 t (2)…a n1,t (n1) a nt (n)

Так как в nой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t ) a1t (1) a 2 t (2)….a n1,t (n1) a n n =a n n (sgn(t ’) a 1t (1) a 2 t (2) …a n1,t (n1)),где

t = 1 2 … n1 n t ’ = 1 2 … n1

t (1) t (2) … t (n1) t (n) , t (1) t (2) … t (n) , т.к

t = 1 2 … n1 n = 1 2 …. n

t (1) t (2) … t (n1) t (n ) t (1) t (2) … t (n) ,то sgn (t ) =sgn(t ’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n1),полученного вычеркиванием nой строки и nого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a 11 … a 1j .. a 1n

|A|= …………………………… = a ij A ij

0 … a ij … 0

…………………………….

a n1 … a nj … a nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A11 … a1j … a1n a11 .. a1j ..a1n a11 .. a1n .. a1j

A = ………………….. = ni ……………….. =ni nj ……………….. =

0 .. aij … 0 an1 .. anj ..ann an1 .. ann ..anj

an1 .. anj … ann 0 .. aij .. 0 0 .. 0 .. aij

=2nMij*aij=i+jaijMij=aijAij

Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +….+aniAni.

A11 .. a1j .. ann … a1j+0+..+0 … .. a1j .. .. 0 .. … 0

A21 .. a2j .. a2n … 0 +a2j+..+0 .. .. 0 .. .. a2j .. … 0

A = ………………… = ……………………. = ……… + ………. +..+ ……. =

an1 .. anj .. ann … 0+0+..+anj … .. 0 .. .. 0 .. …anj

= a1jA1j+a2jA2j+..+anjAnj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система å aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

xi= , где = A ,

D xiопределитель матриц, полученных из А заменой iстолбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) å aijxj=bj, i=j=1,n, |A| ¹ 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где Аосновная матрица системы, .

X1 b1

X= X2 , b = b2

.. ..

xn bn

Если |A| ¹ 0® $ А1 Þ А1АХ=А1b Þ X=A1 b. Известна теорема утверждающая, что A1 = A* , где A* присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A11 A21 .. An1 b1 b1A11+b2A22+..+bnAn1

X= A* b = A12 A22 .. An2 b2 = b1A12+b2A22+..+bnAn2 =

…………………… … ……………………………..

A1n A2n .. Ann bn b1A1n+b2A2n+..+bnAnn

x1

= x2 ,

……

xn

что и позволит получить формулу: Xi= , где = A , i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aÎ A, bÎ B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={ ( a,b) /,a,bÎ A} ; aWb, a,bÎ A; ( a,b) Î W,где a,bÎ A

Например, бинарные отношения являются:

1. «»^ «»на множестве прямых.

2. «»=»» на множестве чисел.

3. «» @ «» изоморфизм на множестве алгебр.

4. «» ~ «» эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: «» aÎ A, aWa;

2) симметричность: «» a,bÎ A, aWbÞ bWa;

3) транзитивность: «» a,b,c Î A,aWb и bWcÞ aWc

4) связность: «» a,bÎ A,aWbÞ bWa;

5) антирефлексивность: «» aÎ A,( a,a) Ï W;

6) антисимметричность: «» a,bÎ A,aWb,bWaÞ a=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

классификацию, которую представим схемой:

Бинарное

отношение

функциональность эквивалентность: порядок:

«» xÎ A, $ ! yÎ A: рефлексивность, антисимметричность,

f:x® y cимметричность, транзитивность

транзитивность

строгий порядок: нестрогий порядок:

антирефлексивность рефлексивность

частичный порядок: полный порядок:

не обладает свойством обладает связностью

связности

Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WÌ A*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются «»=»», «»~»», «»сравнение по модулю»», изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹ 0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

Ka={ x/xWa /x,aÎ A} aобразующий элемент класса.

свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются «»=»», «»~»», «»сравнение по модулю»», изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹ 0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

aобразующий элемент класса.

Классы эквивалентности обладают свойствами:

1. «» aÎ A попадает в какойлибо класс, что означает, что Ka¹ 0 . Это утверждение следует из введенного определения класса.

Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,cÎ K a , b w c.

c,bÎ KaÞ a w c, Þ c w a , Þ c w b

a w b a w b

Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.

3° . Классы не пересекаются, т.е. КаÇ Кb=Æ

Пусть КаÇ Кb¹ Æ ® $ сÎ КаÇ КbÞ сÎ Ка,сÎ КbÞ сWа,cWbÞ аWс,сWbÞ аWbÞ Ка=Кb.

Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A,Wэквивалентности Þ Ka ,Kb ,…Þ

a) классыподмножества A;

b) классынеизвестного подмножества;

c) классыне пересекающиеся;

d) È Ka =A , аÎ А

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 3.Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rsотношение эквивалентности .

Пусть A, Rs, Sразбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.

Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: «»принадлежность одному подмножеству»», то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rsэквивалентность.

Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактормножеством. Итак, A/w= { Ka /a Î A } .

Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:

Hа множестве дробей {a/b, аÎ Z, bÎ N} зададим отношение «»=»»: а/b=с/dÛ ad=bс.

Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}рациональное число, а {Ka/b}=A/Wмножество рациональных чисел.

2. Z, “º ”: aº b(mod m)Û (ab)M m, {Ka}=Z/(m)=Zmосновное множество кольца классов вычетов.

3. Фмножество фигур, «» ~ «»подобие. Это отношение рождает понятие «»форма фигуры»» как класса подобных фигур.

Вопрос 5 . Элементы теории групп.

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>,где Aмножество элементов любой природы, а Vмножество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A¹ Æ . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А® А, т.е. для «» a,bÎ A, ($ ! ) cÎ A:ao b=c

Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o > с одной алгебраической операцией “ o ”,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1° .»» a,b,cÎ G, ao (bo c)=(ao b)o c,

2° .$ eG,»» aÎ G: eo a=ao e=a.

3° .»» aÎ G, $ a° Î G:ao a° =a° o a=e.

eнейтральный элемент относительно операции;

а° симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:

 

 

 

 

 

 

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еÎ G, $ e1,e2нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e1e=ee1=e.

(2): e2e=ee2, откуда получим:

e1=e1e=e1ee2=ee2=e2, т.е. e1=e2.

2. Пусть для aÎ G, $ a11, a21обратный для а.

Рассмотрим (1): a11a=aa11=e

(2): a21a=aa21=e , откуда получим:

a11aa21=ea21=a21,

a11aa21=a11e=a11 Þ a21=a11.

3. ax=b; aÎ GÞ $ a1: aa1=a1a=e. Домножим уравнение на a1:

a1ax=a1bÞ ex=a1bÞ x=a1b.

Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:

ax1=b, ax2=bравенства, домножим на а1:

x1=a1b, x2=a1b.

В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1° .»» a,bÎ K, ab,baÎ K.

2° .»» aÎ K, a1Î K.

Þ Gгруппа, K Ì G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению Кгруппа. Следовательно, 1° ,2° выполнены.

Ü Gгруппа, K Ì G, 1° , 2° . Покажем, что K p G, т. е. Кгруппа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

Замкнутость К относительно групповой операции. Ассоциативность этой операции. Существование нейтрального элемента. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КÌ G. Проверим 3:

Т. к. «» aÎ K, $ a1Î K ,условие 1° , то аa1 Î К. Но аa1= е, следовательно, еÎ К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть Gгруппа, K p Gподгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:

aº b(mod K)Û ab1 Î K. Проверим, что отношение “º ”является эквивалентностью.

1).]aÎ GÞ $ a1G, aa1=e, eÎ KÞ aa1Î KÞ aº a(mod K)Þ ”º ”рефлексивно.

2).]aº b(mod K)Þ ab1Î K, (ab1)1Î KÞ ba1Î KÞ bº a(mod K)Þ ”º ”симметрично.

3).]aº b(mod K), bº c(mod K)Þ ab1Î K, bc1Î KÞ (ab1)(bc1)Î KÞ ac1Î KÞ

aº c(mod K)Þ ”º ”транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g Î G, g¯ и покажем, что g¯=Kg={hg| hÎ K, gÎ G}

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактормножество.

{Kg| gÎ G}=G/”º ”фактормножество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:

“aº b(mod K)Û b1aÎ K”.

Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем È Кg=G и È gK=G, a {Kg/gÎ G} и {gK/gÎ G}образуют фактормножества.

Возможен случай, когда для «» gÎ G, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.

Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2 . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если

a, a’Î Hg1, b,b’Î Hg2, то abº a’b'(mod H), т.е. ab, a’b’Î Hg1g2.

ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2Þ abÎ Hg1g2;

a’b’=(h1’g1)(h2’g2)=h1’h2’g1g2=h’g1g2Þ a’b’Î Hg1g2, следовательно

ab, a’b’ принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.

Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.

Т. к. G, H p Gнормальная, {Hg/g G}=G/”º ” . Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактормножество по введенной операции является группой.

1° .Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Þ операция ассоциативная.

2. Hg=He=H «» Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Нвыполняет роль нейтрального элемента на фактормножестве.

3.Hg, Hg1: HgHg1=Hgg1=He=H;

Hg1Hg=Hg1g=He=H, семейство класса Hg1 выполняет роль обратного для Hg,

т.е. (Hg)1=Hg1.

так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют факторгруппой.

 

 

Вопрос 6 Элементы теории колец.

В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить факторкольцо.

Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.

Опр.1

Похожие работы

Интернет– экзамен в сфере профессионального образования: идея и реальная…
…оценки качества подготовки студентов при проведении Интернет экзамена является полный охват дидактических единиц ГОС по контролируемой дисциплине .
•Многие вопросы составлены некорректно или же слишком сложно, изза чего большое количество…
Прикладная информатика ( ГОС экзамен 2008
СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ , ВЫНОСИМЫХ НА ИТОГОВЫЙ МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЙ ЭКЗАМЕН . Специальность. 080802 Прикладная информатика (по отраслям) Дисциплина №1.
Шпаргалки по ТГП к гос экзамену
Шпоры к гос экзамену . 1. Общая характеристика науки «Теория государства и права».
…государственных, общественных, производственных, организационных и иных вопросов путем референдумов, обсуждения законопроектов, собраний учредителей и др.
Ответы на вопросы к гос экзамену по бух учету (2006г.
…контроль за соблюдением кассовой и расчетноплатежной дисциплины ; выявление возможностей более рационального использования денежных средств.
помощь в налоговом планировании и расчете налогов; консультирование по отдельным вопросам …
Характеристика дисциплины «»Юриспруденция»»
…работу по дисциплине специализации; 3) по окончанию обучения студент сдаёт гос . экзамен …
Бывают лекцииконсультации, когда студенты не только записывают или слушают сведения, но и активно общаются с лектором, задают вопросы в ходе лекции.
Шпаргалка по дисциплине Финансы и Кредит
4) страхование м. стать эффективным средством реализации соц. полки гос ва (пенсии, пособия, мед…
Шпора составлена 12.2005 г для экзамена по дисциплине «Финансы и Кредит» для сдачи экзамена по ней. Шпора составлена на основе конспекта лекций…

Нужна качественная работа без плагиата?

Благотворительность

Загружая свои работы, Вы помогаете не только студентам, но и людям, которым Ваша помощь действительно нужна. Чем именно это помогает? Читать дальше….. >

«Библиофонд» — Электронная библиотека: статей, учебной и художественной литературы. Рефераты и курсовые, отчеты по практике и контрольные. Дипломные работы и другие творческие, аналитические работы. Наш проект для тех кому интересно, для тех кто учится и для тех кто действительно нуждается!
Page Weight

Оптимизировано с
помощью сервисов Page Weight