Загрузка...
Тема:Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла»,»
Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
Введение
Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x = 0, y = a, y = b и y = f(x).
При вычислении определенного интеграла можно воспользоваться известной всем, формуле Ньютона – Лейбница, при условии f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее первообразная F(x). Но во многих случаях первообразная получается очень сложной для вычисления, да и функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в некоторых точках (узлах) отрезка [a, b].
Механическая квадратура — численное значение однократного интеграла, и формулы численного интегрирования соответственно называют квадратурными.
Меняя подынтегральную функцию какимлибо интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы, где x k — выбранные узлы интерполяции; A k — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k = 0, 1, 2,……..,n); R — остаточный член, или погрешность квадратурной формулы, отбросив который получим погрешность усечения. Далее, при расчете к погрешности усечения добавляются другие погрешности округления.
Разбив отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей получим следующее: x i = x o + i .. h; (i = 0, 1, 2,……,n) x o = a; x n = b; h= (ba)/n. Вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах: y i = f(x i); (i = 0, 1, 2,……,n).
Для выведения формул численного интегрирования воспользуемся интерполяционным полиномом Лагранжа.
Пусть для функции y = f(x) известны в n + 1 точках X0, X1, X2, Xn промежутка [a,b] соответствующие определения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). По заданным значениям Yi строим полином Лагранжа, заменяя f(x) полиномом Ln(x), где Rn(f) — ошибка квадратурной формулы. Воспользовавшись выражением для Ln(x), получим приближенную квадратурную формулу.
Однако заметим, следующее: коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); для полинома степени n последняя формула точная.
Считая, что y = xK (k = 0, 1, 2..,n), получим линейную систему из n + 1 уравнений, где (k = 0, 1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0, А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда/
Но также необходимо заметить, что при применении данного метода фактически построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С. М. Никольским.
Применяя метод трапеций и средних прямоугольников, интеграл будет численно равняться сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какаялибо малая величина (точность), и сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какаялибо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, график функции должен пересекать в середине.
Определим общую формулу Симпсона (параболическая формула) по следующим условиям: пусть n = 2m есть четное число и yi = f(xi) (i = 0, 1, 2…n) значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = x0, x1, … ,xn=b с шагом h. Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] … [x2m2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + … +y 2m1 s 2 =y 2 +y 4 + … +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона и остаточный член формулы Симпсона в общем виде, где x k I (x 2к2 ,x 2к).
Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева: пусть дана функция f(x) в виде многочлена f(x)=a o +a 1 x+…+a n x n. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах:
f(x 1)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +…+a n x 1n
f(x 2)=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +…+a n x 2n
f(x 3)=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +…+a n x 3n
f(x n)=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +…+a n x nn
получим формулу Чебышева.
Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены ниже в таблице:
|
n
Похожие работы
Нужна качественная работа без плагиата? Благотворительность
Загружая свои работы, Вы помогаете не только студентам, но и людям, которым Ваша помощь действительно нужна. Чем именно это помогает? Читать дальше….. >
|