5629.Учебная работа .Тема:Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...

Тема:Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла»,»

Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

Введение

Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x = 0, y = a, y = b и y = f(x).

При вычислении определенного интеграла можно воспользоваться известной всем, формуле Ньютона – Лейбница, при условии f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее первообразная F(x). Но во многих случаях первообразная получается очень сложной для вычисления, да и функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в некоторых точках (узлах) отрезка [a, b].

Механическая квадратура — численное значение однократного интеграла, и формулы численного интегрирования соответственно называют квадратурными.

Меняя подынтегральную функцию какимлибо интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы, где x k — выбранные узлы интерполяции; A k — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k = 0, 1, 2,……..,n); R — остаточный член, или погрешность квадратурной формулы, отбросив который получим погрешность усечения. Далее, при расчете к погрешности усечения добавляются другие погрешности округления.

Разбив отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей получим следующее: x i = x o + i .. h; (i = 0, 1, 2,……,n) x o = a; x n = b; h= (ba)/n. Вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах: y i = f(x i); (i = 0, 1, 2,……,n).

Для выведения формул численного интегрирования воспользуемся интерполяционным полиномом Лагранжа.

Пусть для функции y = f(x) известны в n + 1 точках X0, X1, X2, Xn промежутка [a,b] соответствующие определения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). По заданным значениям Yi строим полином Лагранжа, заменяя f(x) полиномом Ln(x), где Rn(f) — ошибка квадратурной формулы. Воспользовавшись выражением для Ln(x), получим приближенную квадратурную формулу.

Однако заметим, следующее: коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); для полинома степени n последняя формула точная.

Считая, что y = xK (k = 0, 1, 2..,n), получим линейную систему из n + 1 уравнений, где (k = 0, 1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0, А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда/

Но также необходимо заметить, что при применении данного метода фактически построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С. М. Никольским.

Применяя метод трапеций и средних прямоугольников, интеграл будет численно равняться сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какаялибо малая величина (точность), и сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какаялибо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, график функции должен пересекать в середине.

Определим общую формулу Симпсона (параболическая формула) по следующим условиям: пусть n = 2m есть четное число и yi = f(xi) (i = 0, 1, 2…n) значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = x0, x1, … ,xn=b с шагом h. Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] … [x2m2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + … +y 2m1 s 2 =y 2 +y 4 + … +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона и остаточный член формулы Симпсона в общем виде, где x k I (x 2к2 ,x 2к).

Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева: пусть дана функция f(x) в виде многочлена f(x)=a o +a 1 x+…+a n x n. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах:

f(x 1)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +…+a n x 1n

f(x 2)=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +…+a n x 2n

f(x 3)=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +…+a n x 3n

f(x n)=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +…+a n x nn

получим формулу Чебышева.

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены ниже в таблице:

n

Похожие работы

… вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Студента 2го курса
Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления .
Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа
Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства: или, что почти эквивалентно
Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).
Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов
…непосредственно пользоваться формулами ЭйлераФурье: , , , (10) для вычисления коэффициентов разложения. Дело в том, что…
…линейными комбинациями Чебышева и тригонометрическим многочленами. Пусть на отрезке [1,1] функция f(x) приближается…

Нужна качественная работа без плагиата?

Благотворительность

Загружая свои работы, Вы помогаете не только студентам, но и людям, которым Ваша помощь действительно нужна. Чем именно это помогает? Читать дальше….. >

«Библиофонд» — Электронная библиотека: статей, учебной и художественной литературы. Рефераты и курсовые, отчеты по практике и контрольные. Дипломные работы и другие творческие, аналитические работы. Наш проект для тех кому интересно, для тех кто учится и для тех кто действительно нуждается!
Page Weight

Оптимизировано с
помощью сервисов Page Weight