(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Тема:Теория вероятности»,»
Задание №1
Вероятность поражения для каждого из трех стрелков соответственно равны 0,7 ; 0,5; 0,6.Случайная величина X число поражений цели при условии , что каждый стрелок сделал по одному выстрелу .
- Построить многоугольник распределения.
- Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
- Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду.
Решение.
) Возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3. Условие задачи можно рассматривать как серию из n=3 независимых испытаний, вероятность события A={попадание в мишень} равна P(A1)=0,7; P(A2)=0,5; P(A3)=0,6; . В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины Х можно воспользоваться формулой Бернулли:
0.06
0.29
0.44
0.21
Ряд распределения данной случайной величины Х имеет вид.
xi0123pi0.060.290.440.21
) Вычислим функцию распределения данной случайной величины.
математический медиана дисперсия многоугольник
при x( ?.0] F(x)=0;
при x(0.1] F(x)=P(X=0)=0.06;
при x(1.2] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)=0.35;
при x(2.3] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)=0.79;
при x(3. + ?] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)=1;
) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:
0·0.06+1·0.29+2·0.44+3·0.21=1.8
т.е. среднее число удачных испытаний, равно = 1.8
Дисперсия:
0.7
Среднее квадратичное отклонение :
0.84
т.е. среднее квадратическое отклонение числа неисправных приборов, равно 1.46.
Задание №2
Задана плотность распределения f(x) непрерывной СВ x:
f(x)= C(x+x²) при x [0;2]
0 при x [0;2];
- Построить график f(x).
- Найти интегральную функцию F(x) и построить её график.
- Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.
- Найти вероятность попадания СВ x в интервал (1 ; 2).
Решение.
Неизвестный параметр А плотности распределения вероятностей найдём из соотношения:
= 1
Поскольку плотность f(x) при x £ 0 равна нулю, то:
,
т. к. ;
C = 3/14;
Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид:
f(x)= 3/14(x+x²) при x [0;2]
0 при x [0;2];
График функции f(x):
Вычислим функцию распределения F(x).
При х (?, 0]
При х [0, 2]
При х [2, ?) ;
, при х (?, 0];
F(x)= ,при х [0, 2];
1, при х [2, ?);
График функции F(x):
Числовые характеристики исследуемой СВ:
А) Математическое ожидание:
Б) Мода СВ x равна 0.
В) Медиану найдём из уравнения: F(x) = 0,5;
/14(x+x²) = 0,5;
x = 1.1;
Г) Дисперсия СВ x:
;
Д) Среднее квадратическое отклонение СВ x:
sx = » 1,06;
Вероятность того, что 1 £ x £ 2, вычислим по формуле:
p{1 < x < 2} =
Задание №3
Предполагая, что время, необходимое для ремонта поступившего вагона, распределено по экспоненциальному закону с параметром l = 0,25 [час1], найти вероятность того, что для ремонта одного вагона понадобится не более шести часов.
Решение.
В данном случае мы имеем дело с непрерывной СВ (x) временем ремонта вагона. Наша задача состоит в том, чтобы найти вероятность её попадания в интервал (0;6).
Как известно, вероятность того, что непрерывная случайная величина x, которая распределена по показательному закону, попадёт в интервал (a; b), вычисляется по формуле:
P(a < x < b) = ela elb;
Произведём необходимые вычисления (l = 0,25; a = 0; b = 6):
P(0 < x <6) = e0,25×0 e0,25×6 = 1 0,223 » 0,777;
Т. е. вероятность того, что вагон отремонтируют менее, чем за шесть часов равна 0,777.
Ответ: 0,777.
Задание № 4
При определении расстояния радиолокатором случайные ошибки распределяются по нормальному закону. Какова вероятность того, что ошибка при определении расстояния не превысит 20 м, если известно, что систематических ошибок радиолокатор не допускает, а дисперсия случайных ошибок равна 1370 м2 ?
Решение.
Воспользуемся формулой:
Так как a = 20(м), b = 20 (м), Mx = 0 (м), s = 37 (м), то имеем:
Ответ: 0.4108.