5362.Учебная работа .Тема:Комплексные числа и матрицы

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Тема:Комплексные числа и матрицы»,»

1. Дано комплексное число а

Требуется

)Записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

)Найти все корни уравнения z3 + а = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

а =

Решение:

Преобразуем заданное число, умножив числитель и знаменатель на сопряженное число :

а = = = = 1 + i

Воспользуемся двумя формами записи комплексных чисел показательной и алгебраической:

= A exp(j?) = A1 + jA21 = A*cos?; A2 = A*sin?;

A = ; ? =

А = = = 2

? = arctg(1/) = 300 = ?/6

Таким образом, алгебраическая запись числа а:

а = 1 + i

комплексная запись числа а:

а = 2ехр{i*300}

тригонометрическая запись числа а: а = 2(сos(?/6) + i*sin(?/6))

решим уравнение:

z3 + 1 + i = 0

z3 = 1 i

Воспользуемся формулой:

zn =

n = 3 и k = 1, 2, 3

A = 2

? = arctg(1/) = ?/6 + ? = , тогда

Следовательно корни третей степени будут:

Z1 = =

Z2 =

Z3 = =

Для изображения корней на комплексной плоскости запишем для удобства их в виде

Z1 = =

Z2 =

Z3 = =

2. Найти неизвестную матрицу Х из заданного уравнения

Х = + 2

Решение.

Произведем действия над матрицами в правой части уравнения: умножение на число и сложение:

+ 2 = + =

Получаем уравнение

Х =

или в операторной форме:

АХ = В, тогда

Х = А1В

здесь А1 обратная матрица

найдем обратную матрицу для А =

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

=

Обратную матрицу A1, будем искать в следующем виде:

где Aij = ( 1 ) i+j * M ij

М ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( 1 )i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

Найдем определитель матрицы А.

A = = 1 * ( 1) ( 1) * 2 = ( 1) ( 2) = 1

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M11 ) элемента a11.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( 1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.

11 = ( 1 ) 1+1 * M 11 = ( 1 ) 1+1 * ( 1) = 1

Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M12 ) элемента a12.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a12, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( 1 )1+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

12 = ( 1 ) 1+2 * M 12 = ( 1 ) 1+2 * 2 = 2

Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M21 ) элемента a21.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a21, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( 1 )2+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

21 = ( 1 ) 2+1 * M 21 = ( 1 ) 2+1 * ( 1) = 1

Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M22 ) элемента a22.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a22, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( 1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a22 равно минору данного элемента.

22 = ( 1 ) 2+2 * M 22 = ( 1 ) 2+2 * 1 = 1

Осталось, только записать обратную матрицу.

1 = 1 / 1 * 1 =

Таким образом получаем

Х= *

Произведем умножение матриц:

Х = * = = =

Окончательно получаем

Х =

3. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение:

Используем следующее свойство определителя :

Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится. Для столбцов все аналогично.

Если в какойнибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.

Найдем det A.

7 0 2 =

det A = 1 2 3 17

1 5 0

4 2 5

К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 3.

7 0 2 =

= 5 2 3 17

1 5 0

4 2 5

К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 5.

7 35 2 =

= 5 2 7 17

1 0 0

4 18 5

Разлагаем определитель по элементам третьей строки.

35 2 +

= ( 1 )3+1 * 0* 2 7 17

18 5

35 2 +

( 1 )3+2 * ( 1) * 5 7 17

18 5

7 2 +

( 1 )3+3 * 0* 5 2 17

4 5

7 35 =

( 1 )3+4 * 0* 5 2 7

4 18

35 2

= 1* 5 7 17

18 5

= 1 detC1 = 1 * 7 = 7

35 2 == 5 7 17

18 5

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 3.

14 49 =

= 5 7 17

18 5

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

17 +

= ( 1 )1+1 * 0* 18 5

17 +

( 1 )1+2 * ( 14) * 7 5

7 =

( 1 )1+3 * ( 49) * 7 18

=14* 5 17 +

5

=(49)* 5 7 =

18

= 14* ( ( 5) * ( 5) 17 * ( 7) ) +( 49) * ( ( 5) * ( 18) ( 7) * ( 7) ) =

= 14 * 144 + ( 49) * 41 = 7

Ответ: А = 7

комплексный матрица уравнение определитель

4. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее

а)по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

Решение:

Система совместима, если ее главный детерминант не равен нулю.

Det A = = 1*{(2)*11*(1)}+4*{6*15*1}+3*{6*(1)5*1} = 15

Система совместима, следовательно, она имеет единственное решение и матрица главного детерминанта имеет обратную.

а) МЕТОД КРАМЕРА

Имеем расширенную матрицу:

Найдем det A1 ПОДРОБНО

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

4 3 =A1 = 5 2 1

1 1

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3 .

2 4 3 =

= 1 1 0

1 1

Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 .

4 3 =

= 0 1 0

1 1

Разлагаем определитель по элементам второй строки.

= ( 1 )2+1 * 0* 4 3 +

1

( 1 )2+2 * ( 1) * 6 3 +

1

( 1 )2+3 * 0* 6 4 =

1

= ( 1) * 6 3 =

1

= ( 1) * ( 6 * 1 3 * 7 ) = ( 1) * ( 15) = 15

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

1 2 3 =A2 = 6 5 1

6 1

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3.

2 3 =

= 1 1 0

6 1

К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1.

3 3 =

= 1 0 0

11 1

Разлагаем определитель по элементам второй строки.

3 +

= ( 1 )2+1 * 1* 11 1

3 +

( 1 )2+2 * 0* 5 1

3 =

( 1 )2+3 * 0* 5 11

3 =

= ( 1) * 11 1

= ( 1) * ( 3 * 1 3 * 11 ) = ( 1) * ( 30) = 30

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

4 2 =A3 = 6 2 5

1 6

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.

4 2 =

= 4 0 7

1 6

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 4.

0 22 =

= 4 0 7

1 6

Разлагаем определитель по элементам второго столбца.

4 7 +

= ( 1 )1+2 * 0* 5 6

22 +

( 1 )2+2 * 0* 5 6

22 =

( 1 )3+2 * ( 1) * 4 7

22 =

=1* 4 7

= 1* ( ( 19) * ( 7) ( 22) * ( 4) ) = 1 * 45 = 45= det A1 / det A = 15 / 15 = 1= det A2 / det A = 30 / 15 = 2 = det A3 / det A = 45 / 15 = 3

б) МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Запишем систему уравнений в матричной форме

* X = B

* =

Найдем матицу A1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений. Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

A = 11 a12 a13

А = a21 a22 a23 31 a32 a33

Обратную матрицу A1, будем искать в следующем виде:

A11 A21 A31 1 = 1 / det A * A12 A22 A32 13 A23 A33

где Aij = ( 1 ) i+j * M ij

М ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( 1 )i+j.

Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M11 ) элемента a11.

11 = = (2)*1 1*(1) = 2 +1 = 1

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( 1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.

11 = ( 1 ) 1+1 * M 11 = ( 1 ) 1+1 * ( 1) = 1

Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M12 ) элемента a12.

M12 = = 6*1 1*5 = 6 5 = 1

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a12, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( 1 )1+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

12 = ( 1 ) 1+2 * M 12 = ( 1 ) 1+2 * 1 = 1

Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M13 ) элемента a13.

13 = = 6*(1) (2)*5 = 6+10 = 4

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a13, есть число четное ( 1 + 3 = 4 ) и выражение ( 1 )1+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a13 равно минору данного элемента.

13 = ( 1 ) 1+3 * M 13 = ( 1 ) 1+3 * 4 = 4

Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M21 ) элемента a21.

M21 = = (4)*1 3*(1) = 4 + 3 = 1

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a21, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( 1 )2+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

21 = ( 1 ) 2+1 * M 21 = ( 1 ) 2+1 * ( 1) = 1

Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M22 ) элемента a22.

22 = = 1*1 3*5 = 1 15 = 14

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a22, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( 1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a22 равно минору данного элемента.

22 = ( 1 ) 2+2 * M 22 = ( 1 ) 2+2 * ( 14) = 14

Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M23 ) элемента a23.

M23 = =1*(1) (4)*5 = 1+20 = 19

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a23, есть число нечетное ( 2 + 3 = 5 ) и выражение ( 1 )2+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a23 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

23 = ( 1 ) 2+3 * M 23 = ( 1 ) 2+3 * 19 = 19

Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M31 ) элемента a31.

31 = = (4)*1 3*(2) = 4+6 = 2

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a31, есть число четное ( 3 + 1 = 4 ) и выражение ( 1 )3+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a31 равно минору данного элемента.

31 = ( 1 ) 3+1 * M 31 = ( 1 ) 3+1 * 2 = 2

Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M32 ) элемента a32.

32 = = 1*1 3*6 = 1 18 = 17

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a32, есть число нечетное ( 3 + 2 = 5 ) и выражение ( 1 )3+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a32 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

32 = ( 1 ) 3+2 * M 32 = ( 1 ) 3+2 * ( 17) = 17

Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33 . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M33 ) элемента a33.

33 = = 1*(2) (4)*6 = 2+24 = 22

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a33, есть число четное ( 3 + 3 = 6 ) и выражение ( 1 )3+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a33 равно минору данного элемента.

33 = ( 1 ) 3+3 * M 33 = ( 1 ) 3+3 * 22 = 22

Осталось, только записать обратную матрицу.

1 = 1 / 15 * 1 =

Вернемся к уравнению в матричной форме.

* X = B

Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A1

1 * A * X = A1 * B

* =

*

Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная матрица, т.е. A1 * A = Е, следовательно

X = A1 * B

= * = (1/15)*2 + (1/15)*5 + (2/15)*6 = 1= (1/15)*2 +(14/15)*5+(17/15)*6 = 2= (4/15)*2 + (19/15)*5 + (22/15)*6 = 3

Ответ :

= 1

y = 2

z = 3

в) МЕТОД ГАУССА

Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.

На втором этапе решения (обратный ход) мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.

Последовательность исключения переменных, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками коэффициентам системы.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений. Расширенная матрица это просто форма записи нашей системы уравнений, и ничего более (каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы).

Прямой ход.

Запишем исходную систему.

Исключим переменную x из всех уравнений, за исключением первого.

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 6 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 5 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.

Исключим переменную y из последнего уравнения.

Решать систему уравнений в целых числах удобнее. Поступим следующим образом: Умножим коэффициенты уравнения 2 на 19.

Умножим коэффициенты уравнения 3 на 22.

Прибавим уравнение 2 к уравнению 3.

Обратный ход.

Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:

z = 45

Z = 3

Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:

y 323 z = 133

Из данного уравнения , найдем значение переменной y.

Подставим, ранее найденное, значение переменной z.

y= 17/22 * 3 7/22

y = 2

Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:

4 y + 3 z = 2

Из данного уравнения , найдем значение переменной x1.

= 4 y 3 z + 2

Подставим, ранее найденные, значения переменных y , z .

x= 4*2 3*3 + 2 = 1

Ответ:

= 1

y = 2

z = 3

. Даны векторы в декартовой системе координат. Показать, что векторы образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе (написать разложение вектора в базисе

= (7, 0, 1)

= (1, 1, 1/7)

= (3, 0, 1)

= (1, 1, 1)

Решение.

Проверим линейную зависимость векторов составив комбинацию:

? =

= 1*{0*(1) 1*(1)} (3){1*(1) (1/7)*(1)} + 1*{1*1 0*(1/7)} = 1 + 3*(6/7) + 1 = = 2 + (18/7) =

Следовательно, система имеет ненулевое решение, так как ее детерминант не равен нулю. Значит вектора линейно зависимы и образуют базис.

Чтобы разложить вектор в этом базисе необходимо решить систему линейных уравнений, составленной по характеристическому:

Решим ее

* =

По формулам Крамера

detА = = 4/7

detA1 = =

= 7*{0 1*(1)} (3){0 1*(1)} + 1*{00} = 7 + 3 = 4

detA2 = =

= 1*{0 1*(1)} (7){1*(1) (1/7)*(1)} +1*{1*1 0} = 1 6 + 1= 4

detA3 = =

1*{0 0} (3)*{1*1 0} + (7)*{1*1 0} = 0 + 3 7 = 4

l1 = det A1 / det A = 4 / (4/7) = 7

l2 = det A2 / det A = 4 / (4/7) = 73 = det A3 / det A = 4 / (4/7) = 7

окончательное разложение вектора по найденному базису :