5355.Учебная работа .Тема:Приближение функций

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Тема:Приближение функций»,»

ВВЕДЕНИЕ

Овладеть практическими навыками применения простейших алгоритмов линейного и нелинейного сглаживания данных (функций, заданных табличным способом) и их численного дифференцирования, а также получение навыков проведения оценок полученных результатов относительно погрешностей и коэффициентов обусловленности.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для заданного ряда экспериментальных измерений функции в равноотстоящих узлах . Требуется произвести сглаживание результатов измерений, представленных таблично (Таблица 1). Для этого необходимо использовать алгоритмы линейного и нелинейного сглаживания.

Выполнить численное дифференцирование для исходных и сглаженных данных, используя формулы численного дифференцирования, основанные на формуле Бесселя и на второй формуле Гаусса.

Для заданных формул численного дифференцирования вычислить коэффициенты обусловленности, сравнить полученные значения и сделать рекомендации по применению соответствующих методов.

Определить оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения. Сравнить полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента в табличном представлении функции и сделать соответствующие рекомендации по изменению процедуры проведении последующих измерений значений функции.

2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

.1 MEDSMOOTH и SUPSMOOTH

Проведем сглаживание данных с использованием встроенных функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH.

Присваиваем переменной ORIGIN значение, равное единице.

Из таблицы 1 введем исходные данные и разместим их в массивах (x), (y).

Рисунок 1 Графическое сравнение функций medsmooth и supsmooth с исходной функцией

2.2 Линейное сглаживание данных по трем и пяти точкам

Используя алгоритм линейного сглаживания данных по трем точкам изобразим на одном графике исходные (у) и сглаженные данные.

Рисунок 2 График данной функции и сглаженных данных (по трем точкам)

Проведем линейное сглаживание данных по пяти точкам и построим графики исходных и сглаженных данных.

Рисунок 3 График данной функции и сглаженных данных (по пяти точкам)

2.3 Нелинейное сглаживание данных по семи точкам

Проведем нелинейное сглаживания по семи точкам и изобразим на одном графике исходные и сглаженные данные. сглаживание.

Рисунок 4 График данной функции и сглаженных данных (по семи точкам)

Построим таблицы сглаженных данных, полученных разными методами.

Таблица 1 Исходные данные и данные, полученные в результате сглаживания линейными и нелинейным методами

xYZ3Z5Z70.1158.6578.6528.6318.6570.128.2938.3038.2748.2940.1257.9587.9677.9847.9580.137.6497.6577.6727.6490.1357.3627.3697.3837.3620.147.0967.1027.1147.0960.1456.8486.8546.8656.8480.156.6176.6226.6316.6170.1556.46.4046.4136.3050.166.1976.2016.4096.1490.1656.0066.3436.6176.3110.176.8266.8296.9966.8810.1757.6577.5927.3487.5480.188.2937.977.6778.0210.1857.9587.9677.7848.0370.197.6497.6577.6527.730.1957.3627.3367.3637.3340.26.9967.0697.0947.1580.2056.8486.826.6456.9620.216.6176.2885.8116.1740.2155.45.0715.0135.0760.223.1973.8674.2093.6940.2253.0063.0093.232.8680.232.8262.8242.2142.854

2.4 Сравнение результатов сглаживания

Рисунок 5 Графическое сравнение результатов сглаживания с исходной функцией

Сравним (графически) линейные и нелинейный методы сглаживания с исходной функцией.

Анализируя график, можно сделать вывод о том что наиболее точным является метод medsmooth.

2.5 Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных

Для численного дифференцирования данных воспользуемся формулами, приведенными ниже. Вычисления выполним в среде MathCAD, результаты сравним графически.

Рисунок 6 Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных

Изменим шаг дифференцирования, уменьшив его в 4 раза.

Рисунок 7 Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг уменьшен в 4 раза)

Изменим шаг дифференцирования, увеличив его в 4 раза.

Рисунок 8 Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг увеличен в 4 раза)

В результате делаем вывод о том, что при уменьшении шага, получаем более точный результат.

2.6 Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных с помощью второй формулы гаусса и формулы Бесселя

Формула Бесселя имеет вид:

Формула Гаусса имеет вид:

Выполним преобразование формулы с учетом, что

Тогда формулы Бесселя и Гаусса примут вид для исходных данных:

Таблица 2 Первая и вторая производные по методу Бесселя и Гаусса

B1B2Ga1Ga264.3331.024e369.4441.027e359.507909.63364.668892.86755.205814.03360.515778.46751.335737.23356.884684.06747.802679.23353.674609.66744.511640.03350.787555.26741.37619.63348.122520.86738.284618.03345.578506.46735.158635.23343.057512.06731.9671.23340.458537.66728.415726.03337.68583.26724.608799.63334.625648.86720.387892.03331.192734.46715.6571.003e327.28840.06710.3231.133e322.791965.6674.2931.282e317.6241.111e32.5281.45e311.6781.277e310.2351.636e34.8551.462e318.921.841e32.9461.668e328.6782.065e311.8261.894e339.6042.308e321.8832.139e351.792.57e333.2182.405e3

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 9 Сравнение результатов первой производной по формуле Бесселя и Гаусса

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 10 Сравнение результатов второй производной по формуле Бесселя и Гаусса

Полученные результаты имеют достаточно большой разбеги и сильно разнятся по значению, что свидетельствует о плохой обусловленности задачи.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям погрешностей исходных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны существенные изменения решения. Мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на второй формуле Гаусса:

линейный сглаживание гаусс бессель

Так как 6000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на формуле Бесселя:

Так как 10000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим оптимальное значение шага дифференцирования.

Оценка максимальной погрешности интерполяции исходной функции на всем отрезке дифференцирования [a, b] для четырёх узлов интерполяции (n=3) удовлетворяет условию:

, где

Полная погрешность представляет собой сумму вычислительной погрешности и погрешности интерполяции на интервале дифференцирования и не превосходит величины:

Минимизация по h функции ?1(h) приводит к следующей формуле для вычисления оптимального значения шага дифференцирования:

Из полученных значений можно сделать вывод, что оптимальное значения шага дифференцирования намного превышает значение шага в нашей функции. Следовательно, чтобы задача стала хорошо обусловленной, следует взять шаг h=0.275.

ВЫВОД

В ходе данной лабораторной работы были проведены процедуры сглаживания линейного по трем и пяти точкам и нелинейного по семи точкам, а также сглаживание с использованием функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH. Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что сглаживание по трем и пяти точкам, а также функция SUPSMOOTH дают самые гладкие графики, в то время как нелинейное сглаживание по семи точкам, и функция MEDSMOOTH дают более приближенные к оригинальным значения.

В результате выполнения численного дифференцирования для данных, с использованием формул численного дифференцирования, основанных на второй формуле Гаусса и на формуле Бесселя. Были вычислены коэффициенты обусловленности (6000 для формулы Гаусса и 10000 для формулы Бесселя), сравнив полученные значения, был сделан вывод о том, что задача плохо обусловлена для обоих методов численного дифференцирования.

Также было определено оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения: . Сравнив полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента (h=0.005) в табличном представлении функции, был сделан вывод, что при проведении последующих измерений значений функции следует увеличить шаг для лучшей обусловленности задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Учебнометодические пособие «Методы решения задач вычислительной математики» для изучения дисциплины «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки «Компьютерная инженерия» дневной и заочной форм обучения. / Сост. Е.В. Козлова. Севастополь: Издво СевНТУ, 2009.

2.Методические указания к выполнению лабораторной работы №2 «Приближение функций» по дисциплине «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки «Компьютерная инженерия» дневной формы обучения /Сост. Е.В. Козлова. Севастополь: Издво СевНТУ, 2014. 16с.