5339.Учебная работа .Тема:Площадь поверхности тел вращения

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...

Тема:Площадь поверхности тел вращения»,»

МПС РФ

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Р Е Ф Е Р А Т

[pic]

«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»

выполнила:

студентка группы 29 Г

Митрохина Анна

Проверил :

Гателюк О.В.

Омск

2000г.

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer целый) одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Символ [pic]введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)
Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.
Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики
интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Самое важное из истории интегрального исчисления!

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом
Книдским (ок. 408 ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок.
287 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой
Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

[pic]

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

[pic]

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
S = [pic] бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер
(1571 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и
“Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери
(1598 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =[pic], где N целое (т. е. вывел формулу [pic][pic]), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.
Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (16031677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

[pic]

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии
(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.
Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 1862 гг.), В. Я. Буняковский
(1804 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 1922 гг.) теории меры.

[pic]

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 1941 гг.) и А.
Данжуа (1884 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 1959 гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn1B длины которых обозначим через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

,где

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме

, или сумме

, (1)

распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2)

, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi1, xi ,?i.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.

или

(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ? x ? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ? t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]