5327.Учебная работа .Тема:Задачи по математике

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (4 оценок, среднее: 4,75 из 5)
Загрузка...

Тема:Задачи по математике»,»

Normal 0 false false false false RU XNONE XNONE

Пример 1. При исследовании состояния лесного массива выявлено на одном гектаре следующее число пораженных деревьев:

4 12 11  13 15 7 15 6 4 9 10 15.

Расположив полученные данные в порядке возрастания, получим вариационный ряд:

4 4 6 7 9 10 11 12 13 15 15 15.

Количество исследованных гектаров – объем выборки .

оценим среднее число поражённых деревьев, приходящихся на 1 га:

.

     

 

  и     .

или

 

 

коэффициент вариации

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

1)По таблице 3

.

2)Точность

1) Границы интервала:

  Получим доверительный интервал (7,5;  12,7).

Пример 2.  Количество ежедневных нарушений техники безопасности в цехе, сделанных за месяц, представлено следующими данными:

5 6   5   6   6   4   9   6   4   5

1 4   5   10   10   5   2   2   5   7

4 0   6   5   7   6   9   1   9   4.

Статистический ряд распределения частот будет иметь вид:

0

1

2

4

5

6

7

9

10

1

2

2

5

7

6

2

3

2

Ломаная линия, соединяющая точки , называется полигоном частот. Для примера 2 полигон частот имеет вид:

 

 

 

 

xi

0

1

2

4

5

6

7

9

10

суммы

1

2

2

5

7

6

2

3

2

30

ximi

0

2

4

20

35

36

14

27

20

158

xi2mi

0

2

8

80

175

216

98

243

200

1022

По формуле (3) как и раньше имеем

,

а по формуле (8)

и 

.

Дано:  

а) считая объем выборки большим и полагая ;

1)   Для   находим по таблице 2 ,

2)   Тогда .

3)  и .

Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (4,4;6,2).

б) считая объем выборки недостаточно большим и рассматривая s только как оценку .

1)По таблице 3

.

2)Точность

1)  Границы интервала:

 

Получим доверительный интервал (4,3;6,3).

Пример 3. Вариационный ряд, записанный по результатам 64 опытов по определению содержания нитратов (мг/кг) в огурцах, поставляемых в магазин из совхоза, имеет вид:

0,1  0,2  0,2  0,4  1,0  1,5  2,1  2,2  2,3  2,5  2,5  3,5  3,8  3,9  4,2  4,2  4,4  4,5  5,0  5,0  5,5  5,6  5,8  6,0  6,2  6,3  6,5  6,8  6,8  6,8  7,0  7,5  7,8  7,8  7,8  7,8  8,0  8,0  8,6  8,8  9,0  9,5  9,5  9,5  9,5  9,5  10,0  10,0  10,0  11,3  11,8 11,8  11,8  11,9  12,0  12,0  12,8  13,2  13,8  13,8  14,0  14,5  15,0  15,9.

Наименьшее и наибольшее значения данного вариационного ряда :   .

Размах выборки R:

.

В примере 3   .

Выбираем число интервалов .

Ширина каждого интервала определяем по формуле

.

Принимая , считаем .

 

 

Интервальный статистический ряд имеет вид

Границы интервалов

0 – 2

2 – 4

4 – 6

6 – 8

8 – 10

10 – 12

12 – 14

14 16

6

8

10

12

10

8

6

4

Графически интервальный статистический ряд имеет вид гистограммы:

Гистограмма частот распределения концентрации нитратов в огурцах

Если заменить границы интервалов  серединами интервалов ,  которые  вычисляются по формуле:

,

где   граничные значения интервала i, то получим дискретный статистический ряд

1

3

5

7

9

11

13

15

6

8

10

12

10

8

6

4

 

 

 

имеем

xi

mi

ximi

xi2mi

1

6

6

6

3

8

24

72

5

10

50

250

7

12

84

588

9

10

90

810

11

8

88

968

13

6

78

1014

15

4

60

900

суммы

64

480

4608

 

откуда

  ,

 и

.

 

 

 

 

 

Имеем , . .

1)Для    находим по таблице 2 ,

2)Тогда .

3)    и .

Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (7,0; 8,0).

 

  Пример 4. В контрольной точке на морской акватории из придонного слоя отобрали 5 проб воды и определили в них содержание растворенного кислорода, получив следующие значения (мл/л):

5,07   5,16   5,19 5,23   5,25.

 Тогда содержание растворённого кислорода в придонном слое оценим значением

.

Выборочные данные (мл/л): 5,07 5 ,16 5,19 5,23 5,25.

Выборочное среднее: 

Рассчитаем рассеяние содержания растворённого кислорода в воде по формулам (4) и (5):

.

 

 

 

Дано:    

1)По таблице 3

.

2)Точность

2) Границы интервала:

  Получим доверительный интервал (5,04;  5,32).

Пример 5.  Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной . Произведена выборка объема  n = 27 и получено выборочное среднее характеристики . Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью .

Дано: n = 27, , , .

Решение.

1) По таблице для функции Лапласа из уравнения

  найдем значение .

2) Определим точность оценки d:

.

3)Находим границы доверительного интервала:

  Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

(10,76; 13,24).

 

 

 

1

Пример 7.  Произведено девять проб почвы с целью определения, превышает ли концентрация загрязняющего вещества уровень ПДК, равный 4,2 мг/кг. Получены следующие результаты в мг/кг:

4,7   5,8   3,9   6,1   5,1   4,4   4,6   4,1   4,5

Можно ли с надежностью 0,95 утверждать, что ПДК в среднем превышена?

Решение. 1)  Вычисляем выборочное среднее:

2) Вычисляем дисперсию:

и выборочное среднее отклонение .

3) Так как   то по таблице 3

.

4) Точность оценки

,

5) Границы интервала:  

Получим доверительный интервал (4,23;5,37) мг/кг.

6)Так как  > ПДК=4,2, то ПДК превышена.

Ответ: Можно сделать вывод о превышении ПДК с заданной доверительной вероятностью 0,95.

Пример 8.  В результате клинического анализа крови 10 детей интерната определено содержание свинца в крови. Получены данные (мкг/100мл):    3,2  10,2  4,8  5,4  14,2 11,1  10,1  8,9  12,4  2,1

Можно ли утверждать с доверительной вероятностью 0,95, что содержание свинца в крови детей не превышает в среднем значения 9,0 мкг/100мл, выше которого возможны изменения поведения и обучения детей?

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 i

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

суммы 

 

xi

3,2

10,2

4,8

5,4

14,2

11,1

10,1

8,9

12,4

2,1

82,4

 

xi2

10,24

104,04

23,04

29,16

201,64

123,21

102,01

79,21

153,76

4,41

830,72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Вычисляем выборочное среднее

2) Найдем дисперсию по расчетной формуле:

и выборочное среднее отклонение .

3) Так как   то по таблице 3

.

4) Точность оценки

,

5) Границы интервала:

 и .

Получим доверительный интервал (5,30;  11,18 мкг/100мл.

6)Сравним  пороговое значение концентрации свинца в крови с доверительным интервалом:

,

Ответ: Так как пороговое значение концентрации свинца в крови входит в доверительный интервал, то, следовательно,  по имеющимся статистическим данным нельзя сделать вывод о не превышении заданного порогового значения. Требуются дополнительные исследования.