5306.Учебная работа .Тема:Решение краевой задачи методом конечных разностей

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...

Тема:Решение краевой задачи методом конечных разностей»,»

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Задание

Решить дифференциальное уравнение y» xy’ + 2y = 4,

при y(0)=0, y(1)=2, n=5

Решение

Теоретическое обоснование

Дифференциальное уравнение в общем виде выглядит так:

y» + P(x) y’ + Q(x) y = f(x)

для нашего исходного уравнения находим:

P(x)= x

Q(x)= 2

f(x)= 4

Так как в общем случае найти аналитический вид функции y(x) в виде формулы невозможно, сделаем упрощение: будем искать значение у в некоторой точке xi. Разобьем интервал [xn; xk] на nравных частей с шагом h:

h=

Используя обозначения y(xi) = yi, заменим y'(xi) и y»(xi) конечноразностными выражениями для производных:

С помощью данных выражений для производных заменим исходное дифференциальное уравнение на систему nлинейных уравнений относительно nнеизвестных:

i = 1,2,3,…, n 1(x)= pi(x)= qi(x)= fi

+ pi + qi yi = fi

умножим полученное уравнение на h2:

yi1 + yi + yi+1 = fi

введем следующие обозначения:

Ai = ; Bi = ; Ci =

получаем следующее уравнение:

yi1 yi + yi+1 = fi

составляем систему (n1) уравнений:

x0: y0 =yn

x1: A1y0C1y1+B1y2 =f1h22: A2y1C2y2+B2y3 =f2h2

x3: A3y2C3y3+B3y4 =f3h2

x4: A4y3C4y4+B4y5 =f4h2

x5: y5 =yn

Получаем систему, которая имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов. При решении такой системы можно применить метод прогонки.

Подставим во второе уравнение системы yo из первого уравнения и выразим из полученного y1:

y1 = y2 + ,

тогда можно вывести следующие коэффициенты:

a1 = ; b1 = ;

затем подставим в третье уравнение системы выражение для y1 и выразим из этого уравнения y2, проделав аналогичные действия (n1) раз, получим формулы для остальных неизвестных в общем виде:

ai = ; bi =

основное уравнение для выражения yi:

yi = aiyi+1 + bi

затем выполняем обратный ход прогонки, вычисляя yi.

Практическая часть

1. Метод прогонки

Из исходных данных y(0)=0, y(1)=2, n=5 найдем шаг сетки h:

h = 0,2

дифференциальный уравнение линейный

для заданного дифференциального уравнения:

P(x)= x

Q(x)= 2

f(x)= 4

далее рассчитываем коэффициенты А, В и С:

Ai = 1 (xi); Bi = 1+(xi); Ci = 22

из исходных данных и полученных результатов, построим таблицу следующих значений:

№ узлаXip(x)q(x)f(x)ABCF00001010,20,2241,020,981,920,1620,40,4241,040,961,920,1630,60,6241,060,941,920,1640,80,8241,080,921,920,16510012

Система уравнений записывается в виде:

Пользуясь полученными данными можно рассчитать прогоночные коэффициенты: прямой ход:

ab000,5104166670,0833333330,6910617880,1775644870,7915959420,2932428060,8637878140,44757562802

Пользуясь формулой yi = aiyi+1 + bi и полученными прогоночными коэффициентами, сделаем обратный ход прогонки для вычисления значений искомой функции:

XiY000,20,080,40,320,60,720,81,2812

Полученные точки нанесем на координатные оси:

Проверка:

0=0

,02*01,92*0,08+0,98*0,32=0,16

,04*0,081,92*0,32+0,96*0,72=0,16

,06*0,321,92*0,72+0,94*1,28=0,16

,08*0,721,92*1,28+0,92*2=0,16

=2

Аналитический метод:

Составим аналитическую модель решения в виде y=ax2+bx+c

a2b0c8,88178E16

Для проверки возьмем точку (1; 2)

y’=4x

y»=4

Подставляя эти значения в формулу y» xy’ + 2y = 4 получаем:

41*(4*1)+2*2=4 => 4=4