5301.Учебная работа .Тема:Решение систем уравнений различными способами

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Тема:Решение систем уравнений различными способами»,»

Задание 1.Метод Гаусса

a.В электронных таблицах MS Excel составить такую систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными, чтобы коэффициенты системы и свободные члены были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b.Решить полученную систему уравнений методом исключений Гаусса с выбором главного элемента.

Решение

Составили систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы

Алгоритм метода главных элементов состоит в следующем:

Среди элементов матрицы aij, j = 1, n выбираем наибольший по модулю а23 = 10.

Матрицу М преобразуем: из каждой i-ой неглавной строки вычтем почленно главную строку, умноженную на mt. В результате получится матрица, у которой все элементы главного столбца, за исключением самого главного элемента равны нулю.

m1 = 0,9; m3 = 0,6; m4 = 0,1; m5 = 0,2.

Получим новую матрицу M1 с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а31 = 8,8.

Получим новую матрицу M2 с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М1 главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а21 = -6,25.

Получим новую матрицу M3 с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М2 главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а11 = -5.

Объединим все главные строки, начиная с последней строки.

Полученная матрица, эквивалентная исходной.

,4167х5 = 12,7465 х5 = 2,5925;

х4 = 1,9091 — 1,5455х5 х4 = 0,4195;

,25х2 = 4,0341 + 0,25х4 — 2,4205 х5 х2 = 0,3418;

,8х1 = 4,5 — 2,2х2 — 2,2х4 — 2,7х5 х1 = -0,4744;

х3 = 5 — 2х1 — 8х2 — 8х4 — 3х5 х3 = -0,7919;

Ответ: х1 = -0,4744; х2 = 0,3418; х3 = -0,7919; х4 = 0,4195; х5 = 2,5925.

Задание 2.Интерполяционный многочлен Ньютона

a.В электронных таблицах MS Excel задать таблично функцию в точках 0, 1, 2, …, 10 так, чтобы ее значения были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b.Для полученной функции построить интерполяционный многочлен Ньютона..Вычислить значения полученного интерполяционного многочлена в точках

, 1, 2, …, 10.

Решение

Пусть для функции y = f (x) заданы значения yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных:

n = x0 +nh, где h — шаг интерполяции.

Необходимо найти полином Pn (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения:

n (xi) = yi, i=0,…, n.(1)

Интерполирующий полином ищется в виде:

Рn(X) = a0 + a1(X — X0) + a2(X — X0) (X — X1) + … + an(X — X0)… (X — Xn-1)(2)

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:

Pn(x0)=y0,

Pn(x1)=y1,

. .

Pn(xn)=yn.

Найдем коэффициент а1.

Для определения а2, составим конечную разность второго порядка.

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем:

(3)

где xi, yi — узлы интерполяции;- текущая переменная;- разность между двумя узлами интерполяции h — величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона.

С помощью функции-генератора случайных чисел задаем таблицу значений функцию в точках 0, 1, 2, …, 10.

X012345678910Y49279634854

Составим таблицу конечных разностей функции.

хуDуD2уD3уD4уD5уD6уD7уD8уD9уD10у045-1224-3952-5856-5040619-712-1513-6-26-1046225-3-27-84-436372-55-1-403249-304-5-43256-34-1-9286313-1019744-7988-3295-1104

Воспользуемся формулой (3)

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Вычислим значения полученного интерполяционного многочлена.

Р10(0) = 4Р10(6) = 2,9994

Р10(1) = 9Р10(7) = 3,9964

Р10(2) = 2Р10(8) = 7,9875

Р10(3) = 7Р10(9) = 4,8935

Р10(4) = 9Р10(10) = 4,4251

Р10(5) = 6

Задание 3.Численное интегрирование

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k — номер варианта).

·используя метод интегрирования по частям, вычислить интеграл ;

·используя метод прямоугольников вычислить этот же интеграл с точностью 0,1;

·используя метод трапеций вычислить этот же интеграл с точностью 0,1.

Решение

Используя метод интегрирования по частям, вычислим интеграл

I » 2,412×1016

Для расчетов составим расчетную таблицу.

По формуле прямоугольников

Пусть f(х) = , тогда разобьем отрезок интегрирования на 20 частей, с шагом h= и составим таблицу, в которой найдены середины отрезков , i = 1, 2, …, 10 и значение функции в этих точках .

№xiуi1. -1-0,85-0,0006-0,000052. -0,7-0,55-0,0122-0,00323. -0,4-0,25-0,0922-0,03804. -0,10,050,2229-0,13285. 0,20,3514,26452,79676. 0,50,65168,394654,46147. 0,80,95574,4374406,52428. 1,11,25-12589,4758-1046,52349. 1,41,55-2,42E+05-6,37E+0410. 1,71,85-1,79E+06-7,46E+0511. 22,154,90E+06-2,48E+0612. 2,32,452,85E+085,67E+0713. 2,62,753,31E+091,08E+0914. 2,93,051,07E+107,89E+0915. 3,23,35-2,55E+11-2,29E+1016. 3,53,65-4,80E+12-1,27E+1217. 3,83,95-3,48E+13-1,47E+1318. 4,14,251,07E+14-4,63E+1319. 4,44,555,68E+151,15E+1520. 4,74,856,49E+162,13E+1621. 57,07E+16

По формуле средних прямоугольников получим:

×(-0,0006 — 0,0122+ … +1,15E+15 + 2,13E+16= 0,3×(7,07E+16) » 2,121×1016

По формуле трапеции получим:

×(-0,0032 — 0,038+ … +1,15E+15 + 2,13E+16 = 0,3×(9,90E+16) » 2,969×1016

Ответ: интеграл равен:

,412×1016 — по методу интегрирования по частям;

,121×1016 — по методу прямоугольников;

,969×1016 — по методу трапеций.

Задание 4.Решение нелинейных уравнений

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k — номер варианта).

Найти один корень уравнения:

·методом дихотомии;

·методом касательных.

Решение

f(х) = ,

Для нахождения минимума и максимума функции необходимо вычислить 1-ую производную функции.

Так как в задании требуется найти только одни корень, то можно уменьшить заданный интервал до интервала, в котором будет находиться минимум и максимум функции.

Построим график первой производной на интервале [-1; 1] (рис. 1).

На интервале [-0,5; 0] производная меняет знак с «-» на «+», значит на этом интервале расположена точка минимума.

На интервале [0,5; 1] производная меняет знак с «+» на «-», значит на этом интервале расположена точка максимума.

Приравняем f ¢(x) нулю и вычислим корень уравнения. Так как е8х > 0, то для нахождения точки экстремума надо решить уравнение 8sin3x + cos3x = 0.

Обозначим F(x) = 8sin3x + cos3x и решим уравнение методом дихотомии.

Метод дихотомии заключается в следующем.

. Задать интервал [а, b], на котором корень уравнения существует. Функция на границах данного интервала должна иметь разные знаки, т.е. F(a) F(b)<0.

2. Найти середину интервала по формуле

. Выбрать из полученных двух половин: [а, Х] и [Х, b] интервала [а, b] ту, на которой находится корень по условию F(a) F(X)<0.

Если данное условие выполняется, то корень находится на [а, Х], правую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: b=Х. Перейти в п. 2.

Иначе: корень — на интервале [Х, b]; тогда левую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: а=Х. Перейти в п. 2.

Зададим точность вычисления е = 0,1.

Рассмотрим интервал [-0,5; 0].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F (-0,5) = 8sin (-1,5) + 3cos (-1,5) = -7,77(b) = F(0) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

Функция на границах интервала имеет разные знаки, значит, решение лежит в указанном интервале.

Итерация 1.

Определяем середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке F(Х) = F (-0,25) = 8sin (-0,75) + 3cos (-0,25) = -3,26 Функция на границах интервалов [a, c] и [c, b] имеет разные знаки, значит, в каждом из этих интервалов есть корень.

| F (-0,25)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) × F(Х) = -7,77×(-3,26) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,25.

Итерация 2.

F (-0,125) = -0,14 | F (-0,125)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) × F(Х) = -3,26×(-0,14) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,125.

Итерация 3.

F (-0,0625) = 1,46 | F (-0,0625)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = -0,14×1,46 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,0625.

Итерация 4.

F (-0,09375) = 0,66 | F (-0,09375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = -0,14×0,66 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,09375.

Итерация 5.

F (-0,109375) = 0,26 | F (-0,109375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = -1,4×0,26 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,09375.

Итерация 6.

F (-0,1171875) = 0,06 | F (-0,1171875)| < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = -0,1171875.

fmin (-0,1171875) = -0,135

Ответ: x = -0,1171875; fmin (-0,1171875) = -0,135

Точку максимум определяем на интервале [0,5; 1].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F (0,5) = 8sin (1,5) + 3cos (1,5) = 8,19(b) = F(1) = 8sin(3) + 3cos(3) = -1,84

Итерация 1.

F (0,75) = 4,34 | F (0,75)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 8,19×4,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,75.

Итерация 2.

F (0,875) = 1,34 | F (0,875)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 4,34×1,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 2,75.

Итерация 3.

F (0,9375) = -0,25 | F (0,9375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 1,34×(-0,25) < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = 0,9375.

Итерация 4.

F (0, 90625) = 0, 55 | F (2, 9375)| > 0, 1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 1,34×0,55 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,90625.

Итерация 5.

F (0,92875) = 0,15 | F(092875)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 0,55×0,15 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,921875.

Итерация 6.

F (0,9296875) = -0,05 | F (0,9296875)| < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = 0,9296875.

Вычисли 2-ую производную f ¢¢= 20cos (3,03125) + 99sin (3,03125) = -8,98 < 0, значит это точка максимума.

fmах (0,9296875) = 586,447

Ответ: x = 0,9296875; fmах (0,9296875) = 586,447

Найти один корень уравнения:

Для нахождения экстремума методом касательных надо решить уравнение

F ¢(x) = 24cos3x — 9sin3x

Если х0 — начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Минимум лежит в пределах [-0,5; 0].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х0 = 0.

F(х0) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

F ‘(х0) = 24

х1= 0 — 0,333 = -0,333

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х1= -0.125.

F(х1) = -0,1387

х2= -0,125 + 0,0058 = -0,1192

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х2= -0,1192.

F(х2) = 0,0094

F ‘ (-0,1192) = 25,6320

Точность достигнута.

fmin (-0,1192) = -0,135

Максимум лежит в пределах [0,5; 1].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х0 = 1.

F(х0) = 1,8410

F ‘(х0) = 25,0299

х1= 1 — 0,0736 = 0,9264

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х1= 0,9264.

F(х1) = 0,0297

х2= 0,9264 + 0,0012 = 0,9276

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х2= 0,9276.

F(х2) = -0,0007

Точность достигнута.

fmах (0,9276) = 586,540

Ответ: 293,156 по методу дихотомии;

,203 по методу касательных

Задание 5.Метод Рунге — Кутта четвертого порядка

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

Методом Рунге — Кутта найти решение на отрезке [a, b] дифференциального уравнений вида при заданных начальных условиях с указанным шагом h

Решение

Метод Рунге — Кутта описывается системой следующих соотношений:

yi+1 = yi + Dyi или yi+1 = yi +

где k1 = h×f(xi, yi)

Из начальных условий имеем х0 = 0, у0 = 1, h = 0,01. Найдем первое приближение

у1= у0 + Dу0, где

= 0,1×= 0,1

= 0,1×= 0,10488

= 0,1×= 0,10512

= 0,1×= 0,11001

Следовательно,

и у1= 0 + 0,105 = 0,105.

Дальнейшее решение уравнения представлено в таблице.

ХykDy001010,10,111,050,051,0487520,104880,2097521,050,052441,0511870,105120,2102431,10,105121,1001180,110010,110010,10500101,10,105001,10,110000,1100011,150,160001,1487630,114880,2297521,150,162441,1511770,115120,2302431,20,220121,2001160,120010,120010,11500201,20,220001,20,120000,1200011,250,280001,2487810,124880,2497621,250,282441,251160,125120,2502331,30,345121,3001120,130010,130010,12500301,30,345001,30,130000,1300011,350,410001,3488040,134880,2697621,350,412441,3511390,135110,2702331,40,480111,4001070,140010,140010,13500401,40,480001,40,140000,1400011,450,550001,4488320,144880,2897721,450,552441,4511140,145110,2902231,50,625111,5001020,150010,150010,14500501,50,625001,50,150000,1500011,550,700001,5488610,154890,3097721,550,702441,5510870,155110,3102231,60,780111,6000970,160010,160010,15500601,60,780001,5999990,160000,1600011,650,860001,6488920,164890,3297821,650,862441,6510590,165110,3302131,70,945111,7000920,170010,170010,16500701,70,945001,6999990,170000,1700011,751,030001,7489230,174890,3497821,751,032451,751030,175100,3502131,81,120101,8000870,180010,180010,17500801,81,120001,7999990,180000,1800011,851,210001,8489540,184900,3697921,851,212451,8510010,185100,3702031,91,305101,9000820,190010,190010,18500901,91,305001,8999990,190000,1900011,951,400001,9489840,194900,3898021,951,402451,9509730,195100,39019321,500102,0000770,200010,20001100,1950021,50000

Таким образом, окончательно имеем у ¢(2) = 1,5.

Литература

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

1.Поршнев С.В. Вычислительная математика. — СПб.: Питер, 2004. — 320 с.: ил.

2.Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Бином, 2004. — 631 с.

.Лапчик М.П. Численные методы. — М.: Академия, 2005

.Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.М. Кремера. — М.: ЮНИТИ — ДАНА, 2007